Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37976 / 30937
↖ ↑ ↗
← N 10.006720°
E 28.608399°		 ← 601.50 m → N 10.006720°
E 28.613892°		 →
↑
601.49 m
↓
↑
601.49 m
↓
N 10.001311°
E 28.608399°		 ← 601.51 m →
361 795 m²		 N 10.001311°
E 28.613892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579475402832031 y=0.472068786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579475402832031 × 216)
    floor (0.579475402832031 × 65536)
    floor (37976.5)     		tx = 37976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472068786621094 × 216)
    floor (0.472068786621094 × 65536)
    floor (30937.5)     		ty = 30937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37976 / 30937 ti = "16/37976/30937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37976/30937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37976 ÷ 216
    37976 ÷ 65536     		x = 0.5794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30937 ÷ 216
    30937 ÷ 65536     		y = 0.472061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5794677734375 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472061157226562 × 2 - 1) × π
    0.055877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.175544926408646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49931075} λ = 0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175544926408646))-π/2
    2×atan(1.1918955350343)-π/2
    2×0.872723269095372-π/2
    1.74544653819074-1.57079632675     		φ = 0.17465021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17465021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.006720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37976 KachelY 30937 0.49931075 0.17465021 28.608399 10.006720
    Oben rechts KachelX + 1 37977 KachelY 30937 0.49940662 0.17465021 28.613892 10.006720
    Unten links KachelX 37976 KachelY + 1 30938 0.49931075 0.17455580 28.608399 10.001311
    Unten rechts KachelX + 1 37977 KachelY + 1 30938 0.49940662 0.17455580 28.613892 10.001311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17465021-0.17455580) × R
    9.44099999999892e-05 × 6371000     		dl = 601.486109999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17465021-0.17455580) × R
    9.44099999999892e-05 × 6371000     		dr = 601.486109999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49931075-0.49940662) × cos(0.17465021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984787379946996 × 6371000     		do = 601.496087721955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49931075-0.49940662) × cos(0.17455580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984803780587122 × 6371000     		du = 601.506105032364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17465021)-sin(0.17455580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984787379946996-0.984803780587122)×R²
    abs(0.49940662-0.49931075)×1.64006401256467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64006401256467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64006401256467e-05×40589641000000     		ar = 361794.554889342m²