Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37976 / 30904
↖ ↑ ↗
← N 10.185188°
E 28.608399°		 ← 601.16 m → N 10.185188°
E 28.613892°		 →
↑
601.23 m
↓
↑
601.23 m
↓
N 10.179781°
E 28.608399°		 ← 601.17 m →
361 441 m²		 N 10.179781°
E 28.613892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579475402832031 y=0.471565246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579475402832031 × 216)
    floor (0.579475402832031 × 65536)
    floor (37976.5)     		tx = 37976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471565246582031 × 216)
    floor (0.471565246582031 × 65536)
    floor (30904.5)     		ty = 30904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37976 / 30904 ti = "16/37976/30904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37976/30904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37976 ÷ 216
    37976 ÷ 65536     		x = 0.5794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30904 ÷ 216
    30904 ÷ 65536     		y = 0.4715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5794677734375 × 2 - 1) × π
    0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4715576171875 × 2 - 1) × π
    0.056884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.178708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49931075} λ = 0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178708761783569))-π/2
    2×atan(1.19567246793767)-π/2
    2×0.874280691007143-π/2
    1.74856138201429-1.57079632675     		φ = 0.17776506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17776506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.185188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37976 KachelY 30904 0.49931075 0.17776506 28.608399 10.185188
    Oben rechts KachelX + 1 37977 KachelY 30904 0.49940662 0.17776506 28.613892 10.185188
    Unten links KachelX 37976 KachelY + 1 30905 0.49931075 0.17767069 28.608399 10.179781
    Unten rechts KachelX + 1 37977 KachelY + 1 30905 0.49940662 0.17767069 28.613892 10.179781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17776506-0.17767069) × R
    9.43700000000103e-05 × 6371000     		dl = 601.231270000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17776506-0.17767069) × R
    9.43700000000103e-05 × 6371000     		dr = 601.231270000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49931075-0.49940662) × cos(0.17776506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984241355682506 × 6371000     		do = 601.162582779081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49931075-0.49940662) × cos(0.17767069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984258038774885 × 6371000     		du = 601.172772607873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17776506)-sin(0.17767069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984241355682506-0.984258038774885)×R²
    abs(0.49940662-0.49931075)×1.66830923793437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.66830923793437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.66830923793437e-05×40589641000000     		ar = 361440.806610821m²