Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37973 / 30828
↖ ↑ ↗
← N 10.595821°
E 28.591919°		 ← 600.37 m → N 10.595821°
E 28.597412°		 →
↑
600.40 m
↓
↑
600.40 m
↓
N 10.590421°
E 28.591919°		 ← 600.38 m →
360 469 m²		 N 10.590421°
E 28.597412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579429626464844 y=0.470405578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579429626464844 × 216)
    floor (0.579429626464844 × 65536)
    floor (37973.5)     		tx = 37973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470405578613281 × 216)
    floor (0.470405578613281 × 65536)
    floor (30828.5)     		ty = 30828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37973 / 30828 ti = "16/37973/30828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37973/30828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37973 ÷ 216
    37973 ÷ 65536     		x = 0.579421997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30828 ÷ 216
    30828 ÷ 65536     		y = 0.47039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579421997070312 × 2 - 1) × π
    0.158843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49902313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47039794921875 × 2 - 1) × π
    0.0592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.185995170525818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49902313} λ = 0.49902313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.185995170525818))-π/2
    2×atan(1.20441644366546)-π/2
    2×0.877864143652899-π/2
    1.7557282873058-1.57079632675     		φ = 0.18493196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49902313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.591919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18493196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.595821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37973 KachelY 30828 0.49902313 0.18493196 28.591919 10.595821
    Oben rechts KachelX + 1 37974 KachelY 30828 0.49911900 0.18493196 28.597412 10.595821
    Unten links KachelX 37973 KachelY + 1 30829 0.49902313 0.18483772 28.591919 10.590421
    Unten rechts KachelX + 1 37974 KachelY + 1 30829 0.49911900 0.18483772 28.597412 10.590421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18493196-0.18483772) × R
    9.42399999999954e-05 × 6371000     		dl = 600.403039999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18493196-0.18483772) × R
    9.42399999999954e-05 × 6371000     		dr = 600.403039999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49902313-0.49911900) × cos(0.18493196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98294876407714 × 6371000     		do = 600.373083634919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49902313-0.49911900) × cos(0.18483772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.982966088530847 × 6371000     		du = 600.383665199366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18493196)-sin(0.18483772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98294876407714-0.982966088530847)×R²
    abs(0.49911900-0.49902313)×1.73244537073902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73244537073902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73244537073902e-05×40589641000000     		ar = 360469.001417066m²