Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37973 / 27183
↖ ↑ ↗
← N 29.310352°
E 28.591919°		 ← 532.60 m → N 29.310352°
E 28.597412°		 →
↑
532.68 m
↓
↑
532.68 m
↓
N 29.305561°
E 28.591919°		 ← 532.62 m →
283 709 m²		 N 29.305561°
E 28.597412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579429626464844 y=0.414787292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579429626464844 × 216)
    floor (0.579429626464844 × 65536)
    floor (37973.5)     		tx = 37973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414787292480469 × 216)
    floor (0.414787292480469 × 65536)
    floor (27183.5)     		ty = 27183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37973 / 27183 ti = "16/37973/27183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37973/27183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37973 ÷ 216
    37973 ÷ 65536     		x = 0.579421997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27183 ÷ 216
    27183 ÷ 65536     		y = 0.414779663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579421997070312 × 2 - 1) × π
    0.158843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49902313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414779663085938 × 2 - 1) × π
    0.170440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.535455168756027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49902313} λ = 0.49902313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535455168756027))-π/2
    2×atan(1.70822559624682)-π/2
    2×1.04117923156763-π/2
    2.08235846313525-1.57079632675     		φ = 0.51156214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49902313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.591919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51156214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.310352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37973 KachelY 27183 0.49902313 0.51156214 28.591919 29.310352
    Oben rechts KachelX + 1 37974 KachelY 27183 0.49911900 0.51156214 28.597412 29.310352
    Unten links KachelX 37973 KachelY + 1 27184 0.49902313 0.51147853 28.591919 29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 37974 KachelY + 1 27184 0.49911900 0.51147853 28.597412 29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51156214-0.51147853) × R
    8.36100000000117e-05 × 6371000     		dl = 532.679310000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51156214-0.51147853) × R
    8.36100000000117e-05 × 6371000     		dr = 532.679310000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49902313-0.49911900) × cos(0.51156214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871980841880597 × 6371000     		do = 532.595233894961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49902313-0.49911900) × cos(0.51147853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 532.620231845138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51156214)-sin(0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871980841880597-0.872021769272083)×R²
    abs(0.49911900-0.49902313)×4.09273914860897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09273914860897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09273914860897e-05×40589641000000     		ar = 283709.119811252m²