Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37972 / 27226
↖ ↑ ↗
← N 29.104177°
E 28.586426°		 ← 533.72 m → N 29.104177°
E 28.591919°		 →
↑
533.70 m
↓
↑
533.70 m
↓
N 29.099377°
E 28.586426°		 ← 533.75 m →
284 854 m²		 N 29.099377°
E 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579414367675781 y=0.415443420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579414367675781 × 216)
    floor (0.579414367675781 × 65536)
    floor (37972.5)     		tx = 37972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415443420410156 × 216)
    floor (0.415443420410156 × 65536)
    floor (27226.5)     		ty = 27226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37972 / 27226 ti = "16/37972/27226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37972/27226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37972 ÷ 216
    37972 ÷ 65536     		x = 0.57940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27226 ÷ 216
    27226 ÷ 65536     		y = 0.415435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415435791015625 × 2 - 1) × π
    0.16912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.531332595388702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49892725} λ = 0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531332595388702))-π/2
    2×atan(1.70119780713992)-π/2
    2×1.03938001799936-π/2
    2.07876003599872-1.57079632675     		φ = 0.50796371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50796371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.104177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37972 KachelY 27226 0.49892725 0.50796371 28.586426 29.104177
    Oben rechts KachelX + 1 37973 KachelY 27226 0.49902313 0.50796371 28.591919 29.104177
    Unten links KachelX 37972 KachelY + 1 27227 0.49892725 0.50787994 28.586426 29.099377
    Unten rechts KachelX + 1 37973 KachelY + 1 27227 0.49902313 0.50787994 28.591919 29.099377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50796371-0.50787994) × R
    8.37699999999275e-05 × 6371000     		dl = 533.698669999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50796371-0.50787994) × R
    8.37699999999275e-05 × 6371000     		dr = 533.698669999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49892725-0.49902313) × cos(0.50796371) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873736767997952 × 6371000     		do = 533.723397861925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49892725-0.49902313) × cos(0.50787994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873777510582739 × 6371000     		du = 533.748285530141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50796371)-sin(0.50787994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873736767997952-0.873777510582739)×R²
    abs(0.49902313-0.49892725)×4.07425847868126e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.07425847868126e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.07425847868126e-05×40589641000000     		ar = 284854.109010751m²