Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37972 / 27187
↖ ↑ ↗
← N 29.291190°
E 28.586426°		 ← 532.75 m → N 29.291190°
E 28.591919°		 →
↑
532.68 m
↓
↑
532.68 m
↓
N 29.286399°
E 28.586426°		 ← 532.78 m →
283 792 m²		 N 29.286399°
E 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579414367675781 y=0.414848327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579414367675781 × 216)
    floor (0.579414367675781 × 65536)
    floor (37972.5)     		tx = 37972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414848327636719 × 216)
    floor (0.414848327636719 × 65536)
    floor (27187.5)     		ty = 27187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37972 / 27187 ti = "16/37972/27187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37972/27187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37972 ÷ 216
    37972 ÷ 65536     		x = 0.57940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27187 ÷ 216
    27187 ÷ 65536     		y = 0.414840698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57940673828125 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414840698242188 × 2 - 1) × π
    0.170318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535071673559067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49892725} λ = 0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535071673559067))-π/2
    2×atan(1.70757062553243)-π/2
    2×1.04101201564229-π/2
    2.08202403128459-1.57079632675     		φ = 0.51122770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51122770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.291190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37972 KachelY 27187 0.49892725 0.51122770 28.586426 29.291190
    Oben rechts KachelX + 1 37973 KachelY 27187 0.49902313 0.51122770 28.591919 29.291190
    Unten links KachelX 37972 KachelY + 1 27188 0.49892725 0.51114409 28.586426 29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 37973 KachelY + 1 27188 0.49902313 0.51114409 28.591919 29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51122770-0.51114409) × R
    8.36099999999007e-05 × 6371000     		dl = 532.679309999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51122770-0.51114409) × R
    8.36099999999007e-05 × 6371000     		dr = 532.679309999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49892725-0.49902313) × cos(0.51122770) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872144514869497 × 6371000     		do = 532.750767681873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49892725-0.49902313) × cos(0.51114409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 532.775753343525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51122770)-sin(0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872144514869497-0.872185417875333)×R²
    abs(0.49902313-0.49892725)×4.09030058362569e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.09030058362569e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.09030058362569e-05×40589641000000     		ar = 283791.966168326m²