Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37971 / 27217
↖ ↑ ↗
← N 29.147364°
E 28.580933°		 ← 533.44 m → N 29.147364°
E 28.586426°		 →
↑
533.51 m
↓
↑
533.51 m
↓
N 29.142566°
E 28.580933°		 ← 533.47 m →
284 603 m²		 N 29.142566°
E 28.586426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579399108886719 y=0.415306091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579399108886719 × 216)
    floor (0.579399108886719 × 65536)
    floor (37971.5)     		tx = 37971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415306091308594 × 216)
    floor (0.415306091308594 × 65536)
    floor (27217.5)     		ty = 27217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37971 / 27217 ti = "16/37971/27217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37971/27217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37971 ÷ 216
    37971 ÷ 65536     		x = 0.579391479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27217 ÷ 216
    27217 ÷ 65536     		y = 0.415298461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579391479492188 × 2 - 1) × π
    0.158782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49883138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415298461914062 × 2 - 1) × π
    0.169403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.532195459581863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49883138} λ = 0.49883138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.532195459581863))-π/2
    2×atan(1.7026663432957)-π/2
    2×1.03975689695661-π/2
    2.07951379391323-1.57079632675     		φ = 0.50871747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49883138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.580933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50871747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.147364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37971 KachelY 27217 0.49883138 0.50871747 28.580933 29.147364
    Oben rechts KachelX + 1 37972 KachelY 27217 0.49892725 0.50871747 28.586426 29.147364
    Unten links KachelX 37971 KachelY + 1 27218 0.49883138 0.50863373 28.580933 29.142566
    Unten rechts KachelX + 1 37972 KachelY + 1 27218 0.49892725 0.50863373 28.586426 29.142566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50871747-0.50863373) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dl = 533.507539999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50871747-0.50863373) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dr = 533.507539999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49883138-0.49892725) × cos(0.50871747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873369891657261 × 6371000     		do = 533.443648510468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49883138-0.49892725) × cos(0.50863373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873410674792126 × 6371000     		du = 533.468558350466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50871747)-sin(0.50863373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873369891657261-0.873410674792126)×R²
    abs(0.49892725-0.49883138)×4.07831348648857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07831348648857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07831348648857e-05×40589641000000     		ar = 284602.853605385m²