Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3797 / 3523
↖ ↑ ↗
← N 24.407138°
W 13.139649°		 ← 4 449.80 m → N 24.407138°
W 13.095703°		 →
↑
4 450.53 m
↓
↑
4 450.53 m
↓
N 24.367114°
W 13.139649°		 ← 4 451.21 m →
19 807 078 m²		 N 24.367114°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46356201171875 y=0.43011474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46356201171875 × 213)
    floor (0.46356201171875 × 8192)
    floor (3797.5)     		tx = 3797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43011474609375 × 213)
    floor (0.43011474609375 × 8192)
    floor (3523.5)     		ty = 3523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3797 / 3523 ti = "13/3797/3523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3797/3523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3797 ÷ 213
    3797 ÷ 8192     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3523 ÷ 213
    3523 ÷ 8192     		y = 0.4300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.439485495716675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439485495716675))-π/2
    2×atan(1.5519085494736)-π/2
    2×0.998390622218079-π/2
    1.99678124443616-1.57079632675     		φ = 0.42598492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42598492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.407138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3797 KachelY 3523 -0.22933013 0.42598492 -13.139649 24.407138
    Oben rechts KachelX + 1 3798 KachelY 3523 -0.22856314 0.42598492 -13.095703 24.407138
    Unten links KachelX 3797 KachelY + 1 3524 -0.22933013 0.42528636 -13.139649 24.367114
    Unten rechts KachelX + 1 3798 KachelY + 1 3524 -0.22856314 0.42528636 -13.095703 24.367114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42598492-0.42528636) × R
    0.000698560000000015 × 6371000     		dl = 4450.52576000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42598492-0.42528636) × R
    0.000698560000000015 × 6371000     		dr = 4450.52576000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22856314) × cos(0.42598492) × R
    0.000766989999999995 × 0.910632188150882 × 6371000     		do = 4449.79807705727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22856314) × cos(0.42528636) × R
    0.000766989999999995 × 0.910920623423066 × 6371000     		du = 4451.2075140794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42598492)-sin(0.42528636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910632188150882-0.910920623423066)×R²
    abs(-0.22856314--0.22933013)×0.000288435272183807×R²
    0.000766989999999995×0.000288435272183807×6371000²
    0.000766989999999995×0.000288435272183807×40589641000000     		ar = 19807078.1420946m²