Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3797 / 2551
↖ ↑ ↗
← N 55.998381°
W 13.139649°		 ← 2 732.61 m → N 55.998381°
W 13.095703°		 →
↑
2 733.48 m
↓
↑
2 733.48 m
↓
N 55.973798°
W 13.139649°		 ← 2 734.34 m →
7 471 895 m²		 N 55.973798°
W 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46356201171875 y=0.31146240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46356201171875 × 213)
    floor (0.46356201171875 × 8192)
    floor (3797.5)     		tx = 3797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31146240234375 × 213)
    floor (0.31146240234375 × 8192)
    floor (2551.5)     		ty = 2551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3797 / 2551 ti = "13/3797/2551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3797/2551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3797 ÷ 213
    3797 ÷ 8192     		x = 0.4635009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2551 ÷ 213
    2551 ÷ 8192     		y = 0.3114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3114013671875 × 2 - 1) × π
    0.377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18500015860779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22933013} λ = -0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18500015860779))-π/2
    2×atan(3.2706873402224)-π/2
    2×1.27407622511653-π/2
    2.54815245023307-1.57079632675     		φ = 0.97735612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97735612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.998381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3797 KachelY 2551 -0.22933013 0.97735612 -13.139649 55.998381
    Oben rechts KachelX + 1 3798 KachelY 2551 -0.22856314 0.97735612 -13.095703 55.998381
    Unten links KachelX 3797 KachelY + 1 2552 -0.22933013 0.97692707 -13.139649 55.973798
    Unten rechts KachelX + 1 3798 KachelY + 1 2552 -0.22856314 0.97692707 -13.095703 55.973798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97735612-0.97692707) × R
    0.000429050000000042 × 6371000     		dl = 2733.47755000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97735612-0.97692707) × R
    0.000429050000000042 × 6371000     		dr = 2733.47755000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22933013--0.22856314) × cos(0.97735612) × R
    0.000766989999999995 × 0.559216332775123 × 6371000     		do = 2732.60685776403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22933013--0.22856314) × cos(0.97692707) × R
    0.000766989999999995 × 0.559571973082755 × 6371000     		du = 2734.34469174093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97735612)-sin(0.97692707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559216332775123-0.559571973082755)×R²
    abs(-0.22856314--0.22933013)×0.000355640307632576×R²
    0.000766989999999995×0.000355640307632576×6371000²
    0.000766989999999995×0.000355640307632576×40589641000000     		ar = 7471894.7783779m²