Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37968 / 28400
↖ ↑ ↗
← N 23.322080°
E 28.564453°		 ← 560.88 m → N 23.322080°
E 28.569946°		 →
↑
560.90 m
↓
↑
560.90 m
↓
N 23.317035°
E 28.564453°		 ← 560.90 m →
314 607 m²		 N 23.317035°
E 28.569946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579353332519531 y=0.433357238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579353332519531 × 216)
    floor (0.579353332519531 × 65536)
    floor (37968.5)     		tx = 37968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433357238769531 × 216)
    floor (0.433357238769531 × 65536)
    floor (28400.5)     		ty = 28400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37968 / 28400 ti = "16/37968/28400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37968/28400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37968 ÷ 216
    37968 ÷ 65536     		x = 0.579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28400 ÷ 216
    28400 ÷ 65536     		y = 0.433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579345703125 × 2 - 1) × π
    0.15869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49854376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49854376} λ = 0.49854376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418776755080811))-π/2
    2×atan(1.52010096209132)-π/2
    2×0.988921705698008-π/2
    1.97784341139602-1.57079632675     		φ = 0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49854376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37968 KachelY 28400 0.49854376 0.40704708 28.564453 23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 37969 KachelY 28400 0.49863963 0.40704708 28.569946 23.322080
    Unten links KachelX 37968 KachelY + 1 28401 0.49854376 0.40695904 28.564453 23.317035
    Unten rechts KachelX + 1 37969 KachelY + 1 28401 0.49863963 0.40695904 28.569946 23.317035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40704708-0.40695904) × R
    8.80400000000114e-05 × 6371000     		dl = 560.902840000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40704708-0.40695904) × R
    8.80400000000114e-05 × 6371000     		dr = 560.902840000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49854376-0.49863963) × cos(0.40704708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 560.882673637249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49854376-0.49863963) × cos(0.40695904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.918328735464834 × 6371000     		du = 560.903960461474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40704708)-sin(0.40695904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.918328735464834)×R²
    abs(0.49863963-0.49854376)×3.48514251106158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48514251106158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48514251106158e-05×40589641000000     		ar = 314606.654673259m²