Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37964 / 30655
↖ ↑ ↗
← N 11.528470°
E 28.542480°		 ← 598.47 m → N 11.528470°
E 28.547973°		 →
↑
598.49 m
↓
↑
598.49 m
↓
N 11.523088°
E 28.542480°		 ← 598.48 m →
358 180 m²		 N 11.523088°
E 28.547973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579292297363281 y=0.467765808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579292297363281 × 216)
    floor (0.579292297363281 × 65536)
    floor (37964.5)     		tx = 37964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467765808105469 × 216)
    floor (0.467765808105469 × 65536)
    floor (30655.5)     		ty = 30655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37964 / 30655 ti = "16/37964/30655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37964/30655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37964 ÷ 216
    37964 ÷ 65536     		x = 0.57928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30655 ÷ 216
    30655 ÷ 65536     		y = 0.467758178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57928466796875 × 2 - 1) × π
    0.1585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49816026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467758178710938 × 2 - 1) × π
    0.064483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202581337794357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49816026} λ = 0.49816026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202581337794357))-π/2
    2×atan(1.22455968405504)-π/2
    2×0.886003042137228-π/2
    1.77200608427446-1.57079632675     		φ = 0.20120976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49816026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.542480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20120976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.528470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37964 KachelY 30655 0.49816026 0.20120976 28.542480 11.528470
    Oben rechts KachelX + 1 37965 KachelY 30655 0.49825613 0.20120976 28.547973 11.528470
    Unten links KachelX 37964 KachelY + 1 30656 0.49816026 0.20111582 28.542480 11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 37965 KachelY + 1 30656 0.49825613 0.20111582 28.547973 11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20120976-0.20111582) × R
    9.39399999999868e-05 × 6371000     		dl = 598.491739999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20120976-0.20111582) × R
    9.39399999999868e-05 × 6371000     		dr = 598.491739999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49816026-0.49825613) × cos(0.20120976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979825518517175 × 6371000     		do = 598.465443444186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49816026-0.49825613) × cos(0.20111582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 598.476907954695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20120976)-sin(0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979825518517175-0.979844288556578)×R²
    abs(0.49825613-0.49816026)×1.8770039402205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8770039402205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8770039402205e-05×40589641000000     		ar = 358180.055547548m²