Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3796 / 2636
↖ ↑ ↗
← N 76.455203°
W 96.591797°		 ← 572.23 m → N 76.455203°
W 96.569824°		 →
↑
572.31 m
↓
↑
572.31 m
↓
N 76.450057°
W 96.591797°		 ← 572.44 m →
327 552 m²		 N 76.450057°
W 96.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231719970703125 y=0.160919189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231719970703125 × 214)
    floor (0.231719970703125 × 16384)
    floor (3796.5)     		tx = 3796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160919189453125 × 214)
    floor (0.160919189453125 × 16384)
    floor (2636.5)     		ty = 2636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3796 / 2636 ti = "14/3796/2636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3796/2636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3796 ÷ 214
    3796 ÷ 16384     		x = 0.231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2636 ÷ 214
    2636 ÷ 16384     		y = 0.160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68584489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160888671875 × 2 - 1) × π
    0.67822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13069931431226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68584489} λ = -1.68584489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13069931431226))-π/2
    2×atan(8.42075350632218)-π/2
    2×1.45259567829041-π/2
    2.90519135658082-1.57079632675     		φ = 1.33439503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68584489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33439503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.455203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3796 KachelY 2636 -1.68584489 1.33439503 -96.591797 76.455203
    Oben rechts KachelX + 1 3797 KachelY 2636 -1.68546139 1.33439503 -96.569824 76.455203
    Unten links KachelX 3796 KachelY + 1 2637 -1.68584489 1.33430520 -96.591797 76.450057
    Unten rechts KachelX + 1 3797 KachelY + 1 2637 -1.68546139 1.33430520 -96.569824 76.450057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33439503-1.33430520) × R
    8.98300000000685e-05 × 6371000     		dl = 572.306930000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33439503-1.33430520) × R
    8.98300000000685e-05 × 6371000     		dr = 572.306930000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68584489--1.68546139) × cos(1.33439503) × R
    0.000383500000000092 × 0.234205537686903 × 6371000     		do = 572.229354811488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68584489--1.68546139) × cos(1.33430520) × R
    0.000383500000000092 × 0.234292868309429 × 6371000     		du = 572.442727843896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33439503)-sin(1.33430520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234205537686903-0.234292868309429)×R²
    abs(-1.68546139--1.68584489)×8.73306225255832e-05×R²
    0.000383500000000092×8.73306225255832e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.73306225255832e-05×40589641000000     		ar = 327551.882961374m²