Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37957 / 28359
↖ ↑ ↗
← N 23.528736°
E 28.504028°		 ← 560.07 m → N 23.528736°
E 28.509522°		 →
↑
560.01 m
↓
↑
560.01 m
↓
N 23.523700°
E 28.504028°		 ← 560.09 m →
313 649 m²		 N 23.523700°
E 28.509522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579185485839844 y=0.432731628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579185485839844 × 216)
    floor (0.579185485839844 × 65536)
    floor (37957.5)     		tx = 37957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432731628417969 × 216)
    floor (0.432731628417969 × 65536)
    floor (28359.5)     		ty = 28359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37957 / 28359 ti = "16/37957/28359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37957/28359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37957 ÷ 216
    37957 ÷ 65536     		x = 0.579177856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28359 ÷ 216
    28359 ÷ 65536     		y = 0.432723999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579177856445312 × 2 - 1) × π
    0.158355712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49748914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432723999023438 × 2 - 1) × π
    0.134552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.422707580849655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49748914} λ = 0.49748914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422707580849655))-π/2
    2×atan(1.52608797336448)-π/2
    2×0.990725124796193-π/2
    1.98145024959239-1.57079632675     		φ = 0.41065392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49748914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.504028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41065392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.528736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37957 KachelY 28359 0.49748914 0.41065392 28.504028 23.528736
    Oben rechts KachelX + 1 37958 KachelY 28359 0.49758502 0.41065392 28.509522 23.528736
    Unten links KachelX 37957 KachelY + 1 28360 0.49748914 0.41056602 28.504028 23.523700
    Unten rechts KachelX + 1 37958 KachelY + 1 28360 0.49758502 0.41056602 28.509522 23.523700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41065392-0.41056602) × R
    8.79000000000296e-05 × 6371000     		dl = 560.010900000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41065392-0.41056602) × R
    8.79000000000296e-05 × 6371000     		dr = 560.010900000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49748914-0.49758502) × cos(0.41065392) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916859968137789 × 6371000     		do = 560.065268489678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49748914-0.49758502) × cos(0.41056602) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916895055063869 × 6371000     		du = 560.086701390403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41065392)-sin(0.41056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916859968137789-0.916895055063869)×R²
    abs(0.49758502-0.49748914)×3.5086926080341e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.5086926080341e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.5086926080341e-05×40589641000000     		ar = 313648.656596694m²