Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37956 / 28358
↖ ↑ ↗
← N 23.533773°
E 28.498535°		 ← 559.99 m → N 23.533773°
E 28.504028°		 →
↑
560.01 m
↓
↑
560.01 m
↓
N 23.528736°
E 28.498535°		 ← 560.01 m →
313 604 m²		 N 23.528736°
E 28.504028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579170227050781 y=0.432716369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579170227050781 × 216)
    floor (0.579170227050781 × 65536)
    floor (37956.5)     		tx = 37956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432716369628906 × 216)
    floor (0.432716369628906 × 65536)
    floor (28358.5)     		ty = 28358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37956 / 28358 ti = "16/37956/28358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37956/28358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37956 ÷ 216
    37956 ÷ 65536     		x = 0.57916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28358 ÷ 216
    28358 ÷ 65536     		y = 0.432708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57916259765625 × 2 - 1) × π
    0.1583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49739327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432708740234375 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.422803454648895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49739327} λ = 0.49739327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422803454648895))-π/2
    2×atan(1.52623429223042)-π/2
    2×0.990769075379261-π/2
    1.98153815075852-1.57079632675     		φ = 0.41074182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49739327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.498535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41074182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.533773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37956 KachelY 28358 0.49739327 0.41074182 28.498535 23.533773
    Oben rechts KachelX + 1 37957 KachelY 28358 0.49748914 0.41074182 28.504028 23.533773
    Unten links KachelX 37956 KachelY + 1 28359 0.49739327 0.41065392 28.498535 23.528736
    Unten rechts KachelX + 1 37957 KachelY + 1 28359 0.49748914 0.41065392 28.504028 23.528736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41074182-0.41065392) × R
    8.78999999999741e-05 × 6371000     		dl = 560.010899999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41074182-0.41065392) × R
    8.78999999999741e-05 × 6371000     		dr = 560.010899999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49739327-0.49748914) × cos(0.41074182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916824874127673 × 6371000     		do = 559.98542034896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49739327-0.49748914) × cos(0.41065392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916859968137789 × 6371000     		du = 560.006855341139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41074182)-sin(0.41065392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916824874127673-0.916859968137789)×R²
    abs(0.49748914-0.49739327)×3.50940101162545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50940101162545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50940101162545e-05×40589641000000     		ar = 313603.941352958m²