Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3795 / 2634
↖ ↑ ↗
← N 76.465492°
W 96.613769°		 ← 571.79 m → N 76.465492°
W 96.591797°		 →
↑
571.92 m
↓
↑
571.92 m
↓
N 76.460349°
W 96.613769°		 ← 572 m →
327 081 m²		 N 76.460349°
W 96.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231658935546875 y=0.160797119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231658935546875 × 214)
    floor (0.231658935546875 × 16384)
    floor (3795.5)     		tx = 3795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160797119140625 × 214)
    floor (0.160797119140625 × 16384)
    floor (2634.5)     		ty = 2634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3795 / 2634 ti = "14/3795/2634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3795/2634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3795 ÷ 214
    3795 ÷ 16384     		x = 0.23162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2634 ÷ 214
    2634 ÷ 16384     		y = 0.1607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.5367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68622838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1607666015625 × 2 - 1) × π
    0.678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13146630470618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68622838} λ = -1.68622838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13146630470618))-π/2
    2×atan(8.42721462086076)-π/2
    2×1.45268546151085-π/2
    2.90537092302171-1.57079632675     		φ = 1.33457460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68622838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33457460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.465492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3795 KachelY 2634 -1.68622838 1.33457460 -96.613769 76.465492
    Oben rechts KachelX + 1 3796 KachelY 2634 -1.68584489 1.33457460 -96.591797 76.465492
    Unten links KachelX 3795 KachelY + 1 2635 -1.68622838 1.33448483 -96.613769 76.460349
    Unten rechts KachelX + 1 3796 KachelY + 1 2635 -1.68584489 1.33448483 -96.591797 76.460349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33457460-1.33448483) × R
    8.9769999999989e-05 × 6371000     		dl = 571.92466999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33457460-1.33448483) × R
    8.9769999999989e-05 × 6371000     		dr = 571.92466999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68622838--1.68584489) × cos(1.33457460) × R
    0.000383489999999931 × 0.234030958273466 × 6371000     		do = 571.787898571502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68622838--1.68584489) × cos(1.33448483) × R
    0.000383489999999931 × 0.234118234340717 × 6371000     		du = 572.001132749822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33457460)-sin(1.33448483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234030958273466-0.234118234340717)×R²
    abs(-1.68584489--1.68622838)×8.72760672506745e-05×R²
    0.000383489999999931×8.72760672506745e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.72760672506745e-05×40589641000000     		ar = 327080.582363113m²