Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3795 / 2516
↖ ↑ ↗
← N 56.848972°
W 13.227539°		 ← 2 672.17 m → N 56.848972°
W 13.183594°		 →
↑
2 673.02 m
↓
↑
2 673.02 m
↓
N 56.824933°
W 13.227539°		 ← 2 673.88 m →
7 145 044 m²		 N 56.824933°
W 13.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46331787109375 y=0.30718994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46331787109375 × 213)
    floor (0.46331787109375 × 8192)
    floor (3795.5)     		tx = 3795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30718994140625 × 213)
    floor (0.30718994140625 × 8192)
    floor (2516.5)     		ty = 2516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3795 / 2516 ti = "13/3795/2516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3795/2516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3795 ÷ 213
    3795 ÷ 8192     		x = 0.4632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2516 ÷ 213
    2516 ÷ 8192     		y = 0.30712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23086411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30712890625 × 2 - 1) × π
    0.3857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21184482239502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23086411} λ = -0.23086411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21184482239502))-π/2
    2×atan(3.3596769462222)-π/2
    2×1.28149903210283-π/2
    2.56299806420566-1.57079632675     		φ = 0.99220174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23086411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99220174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.848972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3795 KachelY 2516 -0.23086411 0.99220174 -13.227539 56.848972
    Oben rechts KachelX + 1 3796 KachelY 2516 -0.23009712 0.99220174 -13.183594 56.848972
    Unten links KachelX 3795 KachelY + 1 2517 -0.23086411 0.99178218 -13.227539 56.824933
    Unten rechts KachelX + 1 3796 KachelY + 1 2517 -0.23009712 0.99178218 -13.183594 56.824933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99220174-0.99178218) × R
    0.000419560000000097 × 6371000     		dl = 2673.01676000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99220174-0.99178218) × R
    0.000419560000000097 × 6371000     		dr = 2673.01676000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23086411--0.23009712) × cos(0.99220174) × R
    0.000766990000000023 × 0.546847820300513 × 6371000     		do = 2672.16820454966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23086411--0.23009712) × cos(0.99178218) × R
    0.000766990000000023 × 0.547199041227079 × 6371000     		du = 2673.88444325064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99220174)-sin(0.99178218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546847820300513-0.547199041227079)×R²
    abs(-0.23009712--0.23086411)×0.000351220926566365×R²
    0.000766990000000023×0.000351220926566365×6371000²
    0.000766990000000023×0.000351220926566365×40589641000000     		ar = 7145044.26852306m²