Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37948 / 28250
↖ ↑ ↗
← N 24.076559°
E 28.454590°		 ← 557.65 m → N 24.076559°
E 28.460083°		 →
↑
557.72 m
↓
↑
557.72 m
↓
N 24.071543°
E 28.454590°		 ← 557.67 m →
311 017 m²		 N 24.071543°
E 28.460083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579048156738281 y=0.431068420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579048156738281 × 216)
    floor (0.579048156738281 × 65536)
    floor (37948.5)     		tx = 37948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431068420410156 × 216)
    floor (0.431068420410156 × 65536)
    floor (28250.5)     		ty = 28250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37948 / 28250 ti = "16/37948/28250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37948/28250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37948 ÷ 216
    37948 ÷ 65536     		x = 0.57904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28250 ÷ 216
    28250 ÷ 65536     		y = 0.431060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57904052734375 × 2 - 1) × π
    0.1580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49662628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431060791015625 × 2 - 1) × π
    0.13787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.433157824966827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49662628} λ = 0.49662628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433157824966827))-π/2
    2×atan(1.54211958646811)-π/2
    2×0.995505777991909-π/2
    1.99101155598382-1.57079632675     		φ = 0.42021523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49662628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.454590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42021523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.076559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37948 KachelY 28250 0.49662628 0.42021523 28.454590 24.076559
    Oben rechts KachelX + 1 37949 KachelY 28250 0.49672215 0.42021523 28.460083 24.076559
    Unten links KachelX 37948 KachelY + 1 28251 0.49662628 0.42012769 28.454590 24.071543
    Unten rechts KachelX + 1 37949 KachelY + 1 28251 0.49672215 0.42012769 28.460083 24.071543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42021523-0.42012769) × R
    8.75399999999971e-05 × 6371000     		dl = 557.717339999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42021523-0.42012769) × R
    8.75399999999971e-05 × 6371000     		dr = 557.717339999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49662628-0.49672215) × cos(0.42021523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913001156881729 × 6371000     		do = 557.649940619199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49662628-0.49672215) × cos(0.42012769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.913036865936361 × 6371000     		du = 557.671751273047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42021523)-sin(0.42012769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913001156881729-0.913036865936361)×R²
    abs(0.49672215-0.49662628)×3.5709054632016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5709054632016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5709054632016e-05×40589641000000     		ar = 311017.123821712m²