Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37946 / 28218
↖ ↑ ↗
← N 24.236947°
E 28.443603°		 ← 557.01 m → N 24.236947°
E 28.449097°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
N 24.231938°
E 28.443603°		 ← 557.03 m →
310 269 m²		 N 24.231938°
E 28.449097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579017639160156 y=0.430580139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579017639160156 × 216)
    floor (0.579017639160156 × 65536)
    floor (37946.5)     		tx = 37946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430580139160156 × 216)
    floor (0.430580139160156 × 65536)
    floor (28218.5)     		ty = 28218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37946 / 28218 ti = "16/37946/28218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37946/28218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37946 ÷ 216
    37946 ÷ 65536     		x = 0.579010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28218 ÷ 216
    28218 ÷ 65536     		y = 0.430572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579010009765625 × 2 - 1) × π
    0.15802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49643453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49643453} λ = 0.49643453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436225786542511))-π/2
    2×atan(1.54685801504624)-π/2
    2×0.996905426316631-π/2
    1.99381085263326-1.57079632675     		φ = 0.42301453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49643453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.443603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42301453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.236947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37946 KachelY 28218 0.49643453 0.42301453 28.443603 24.236947
    Oben rechts KachelX + 1 37947 KachelY 28218 0.49653041 0.42301453 28.449097 24.236947
    Unten links KachelX 37946 KachelY + 1 28219 0.49643453 0.42292710 28.443603 24.231938
    Unten rechts KachelX + 1 37947 KachelY + 1 28219 0.49653041 0.42292710 28.449097 24.231938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42301453-0.42292710) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42301453-0.42292710) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49643453-0.49653041) × cos(0.42301453) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911855587260436 × 6371000     		do = 557.008335024264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49643453-0.49653041) × cos(0.42292710) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911891474763386 × 6371000     		du = 557.030256958554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42301453)-sin(0.42292710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911855587260436-0.911891474763386)×R²
    abs(0.49653041-0.49643453)×3.58875029494721e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.58875029494721e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.58875029494721e-05×40589641000000     		ar = 310268.955593733m²