Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37945 / 28222
↖ ↑ ↗
← N 24.216910°
E 28.438110°		 ← 557.04 m → N 24.216910°
E 28.443603°		 →
↑
557.08 m
↓
↑
557.08 m
↓
N 24.211900°
E 28.438110°		 ← 557.06 m →
310 321 m²		 N 24.211900°
E 28.443603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579002380371094 y=0.430641174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579002380371094 × 216)
    floor (0.579002380371094 × 65536)
    floor (37945.5)     		tx = 37945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430641174316406 × 216)
    floor (0.430641174316406 × 65536)
    floor (28222.5)     		ty = 28222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37945 / 28222 ti = "16/37945/28222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37945/28222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37945 ÷ 216
    37945 ÷ 65536     		x = 0.578994750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28222 ÷ 216
    28222 ÷ 65536     		y = 0.430633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578994750976562 × 2 - 1) × π
    0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430633544921875 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.435842291345551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49633866} λ = 0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435842291345551))-π/2
    2×atan(1.54626491615965)-π/2
    2×0.996730566437199-π/2
    1.9934611328744-1.57079632675     		φ = 0.42266481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42266481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.216910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37945 KachelY 28222 0.49633866 0.42266481 28.438110 24.216910
    Oben rechts KachelX + 1 37946 KachelY 28222 0.49643453 0.42266481 28.443603 24.216910
    Unten links KachelX 37945 KachelY + 1 28223 0.49633866 0.42257737 28.438110 24.211900
    Unten rechts KachelX + 1 37946 KachelY + 1 28223 0.49643453 0.42257737 28.443603 24.211900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42266481-0.42257737) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dl = 557.080239999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42266481-0.42257737) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dr = 557.080239999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49633866-0.49643453) × cos(0.42266481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91199909544812 × 6371000     		do = 557.037893750762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49633866-0.49643453) × cos(0.42257737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		du = 557.059798872579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42266481)-sin(0.42257737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91199909544812-0.912034959168537)×R²
    abs(0.49643453-0.49633866)×3.58637204171952e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58637204171952e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58637204171952e-05×40589641000000     		ar = 310320.905192718m²