Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37943 / 28219
↖ ↑ ↗
← N 24.231938°
E 28.427124°		 ← 556.97 m → N 24.231938°
E 28.432617°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
N 24.226929°
E 28.427124°		 ← 556.99 m →
310 249 m²		 N 24.226929°
E 28.432617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578971862792969 y=0.430595397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578971862792969 × 216)
    floor (0.578971862792969 × 65536)
    floor (37943.5)     		tx = 37943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430595397949219 × 216)
    floor (0.430595397949219 × 65536)
    floor (28219.5)     		ty = 28219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37943 / 28219 ti = "16/37943/28219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37943/28219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37943 ÷ 216
    37943 ÷ 65536     		x = 0.578964233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28219 ÷ 216
    28219 ÷ 65536     		y = 0.430587768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578964233398438 × 2 - 1) × π
    0.157928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49614691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430587768554688 × 2 - 1) × π
    0.138824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.436129912743271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49614691} λ = 0.49614691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436129912743271))-π/2
    2×atan(1.54670971900042)-π/2
    2×0.996861713926656-π/2
    1.99372342785331-1.57079632675     		φ = 0.42292710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49614691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.427124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42292710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.231938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37943 KachelY 28219 0.49614691 0.42292710 28.427124 24.231938
    Oben rechts KachelX + 1 37944 KachelY 28219 0.49624278 0.42292710 28.432617 24.231938
    Unten links KachelX 37943 KachelY + 1 28220 0.49614691 0.42283967 28.427124 24.226929
    Unten rechts KachelX + 1 37944 KachelY + 1 28220 0.49624278 0.42283967 28.432617 24.226929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42292710-0.42283967) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42292710-0.42283967) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49614691-0.49624278) × cos(0.42292710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911891474763386 × 6371000     		do = 556.972160352727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49614691-0.49624278) × cos(0.42283967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911927355295832 × 6371000     		du = 556.994075743127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42292710)-sin(0.42283967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911891474763386-0.911927355295832)×R²
    abs(0.49624278-0.49614691)×3.58805324466305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58805324466305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58805324466305e-05×40589641000000     		ar = 310248.803881382m²