Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37942 / 28221
↖ ↑ ↗
← N 24.221919°
E 28.421631°		 ← 557.02 m → N 24.221919°
E 28.427124°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
N 24.216910°
E 28.421631°		 ← 557.04 m →
310 273 m²		 N 24.216910°
E 28.427124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578956604003906 y=0.430625915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578956604003906 × 216)
    floor (0.578956604003906 × 65536)
    floor (37942.5)     		tx = 37942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430625915527344 × 216)
    floor (0.430625915527344 × 65536)
    floor (28221.5)     		ty = 28221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37942 / 28221 ti = "16/37942/28221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37942/28221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37942 ÷ 216
    37942 ÷ 65536     		x = 0.578948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28221 ÷ 216
    28221 ÷ 65536     		y = 0.430618286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578948974609375 × 2 - 1) × π
    0.15789794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49605104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430618286132812 × 2 - 1) × π
    0.138763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.435938165144791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49605104} λ = 0.49605104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435938165144791))-π/2
    2×atan(1.54641316955849)-π/2
    2×0.996774283986674-π/2
    1.99354856797335-1.57079632675     		φ = 0.42275224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49605104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.421631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42275224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.221919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37942 KachelY 28221 0.49605104 0.42275224 28.421631 24.221919
    Oben rechts KachelX + 1 37943 KachelY 28221 0.49614691 0.42275224 28.427124 24.221919
    Unten links KachelX 37942 KachelY + 1 28222 0.49605104 0.42266481 28.421631 24.216910
    Unten rechts KachelX + 1 37943 KachelY + 1 28222 0.49614691 0.42266481 28.427124 24.216910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42275224-0.42266481) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42275224-0.42266481) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49605104-0.49614691) × cos(0.42275224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911963228857502 × 6371000     		do = 557.015986875861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49605104-0.49614691) × cos(0.42266481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91199909544812 × 6371000     		du = 557.037893750762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42275224)-sin(0.42266481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911963228857502-0.91199909544812)×R²
    abs(0.49614691-0.49605104)×3.586659061805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.586659061805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.586659061805e-05×40589641000000     		ar = 310273.213607503m²