Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3794 / 2582
↖ ↑ ↗
← N 55.229023°
W 13.271484°		 ← 2 786.76 m → N 55.229023°
W 13.227539°		 →
↑
2 787.69 m
↓
↑
2 787.69 m
↓
N 55.203953°
W 13.271484°		 ← 2 788.51 m →
7 771 070 m²		 N 55.203953°
W 13.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46319580078125 y=0.31524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46319580078125 × 213)
    floor (0.46319580078125 × 8192)
    floor (3794.5)     		tx = 3794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31524658203125 × 213)
    floor (0.31524658203125 × 8192)
    floor (2582.5)     		ty = 2582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3794 / 2582 ti = "13/3794/2582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3794/2582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3794 ÷ 213
    3794 ÷ 8192     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2582 ÷ 213
    2582 ÷ 8192     		y = 0.315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315185546875 × 2 - 1) × π
    0.36962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16122345639624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16122345639624))-π/2
    2×atan(3.19383840877908)-π/2
    2×1.26736231089379-π/2
    2.53472462178757-1.57079632675     		φ = 0.96392830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96392830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.229023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3794 KachelY 2582 -0.23163110 0.96392830 -13.271484 55.229023
    Oben rechts KachelX + 1 3795 KachelY 2582 -0.23086411 0.96392830 -13.227539 55.229023
    Unten links KachelX 3794 KachelY + 1 2583 -0.23163110 0.96349074 -13.271484 55.203953
    Unten rechts KachelX + 1 3795 KachelY + 1 2583 -0.23086411 0.96349074 -13.227539 55.203953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96392830-0.96349074) × R
    0.000437559999999948 × 6371000     		dl = 2787.69475999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96392830-0.96349074) × R
    0.000437559999999948 × 6371000     		dr = 2787.69475999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23086411) × cos(0.96392830) × R
    0.000766989999999995 × 0.570297538968353 × 6371000     		do = 2786.75509747236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23086411) × cos(0.96349074) × R
    0.000766989999999995 × 0.570656912861616 × 6371000     		du = 2788.51117559038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96392830)-sin(0.96349074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570297538968353-0.570656912861616)×R²
    abs(-0.23086411--0.23163110)×0.000359373893262682×R²
    0.000766989999999995×0.000359373893262682×6371000²
    0.000766989999999995×0.000359373893262682×40589641000000     		ar = 7771070.41149643m²