Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37932 / 30564
↖ ↑ ↗
← N 12.017830°
E 28.366699°		 ← 597.40 m → N 12.017830°
E 28.372192°		 →
↑
597.47 m
↓
↑
597.47 m
↓
N 12.012457°
E 28.366699°		 ← 597.41 m →
356 934 m²		 N 12.012457°
E 28.372192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578804016113281 y=0.466377258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578804016113281 × 216)
    floor (0.578804016113281 × 65536)
    floor (37932.5)     		tx = 37932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466377258300781 × 216)
    floor (0.466377258300781 × 65536)
    floor (30564.5)     		ty = 30564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37932 / 30564 ti = "16/37932/30564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37932/30564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37932 ÷ 216
    37932 ÷ 65536     		x = 0.57879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30564 ÷ 216
    30564 ÷ 65536     		y = 0.46636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57879638671875 × 2 - 1) × π
    0.1575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49509230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    0.0672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.211305853525208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49509230} λ = 0.49509230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211305853525208))-π/2
    2×atan(1.23529011512519)-π/2
    2×0.890273517564553-π/2
    1.78054703512911-1.57079632675     		φ = 0.20975071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49509230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.366699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20975071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.017830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37932 KachelY 30564 0.49509230 0.20975071 28.366699 12.017830
    Oben rechts KachelX + 1 37933 KachelY 30564 0.49518817 0.20975071 28.372192 12.017830
    Unten links KachelX 37932 KachelY + 1 30565 0.49509230 0.20965693 28.366699 12.012457
    Unten rechts KachelX + 1 37933 KachelY + 1 30565 0.49518817 0.20965693 28.372192 12.012457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20975071-0.20965693) × R
    9.37800000000155e-05 × 6371000     		dl = 597.472380000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20975071-0.20965693) × R
    9.37800000000155e-05 × 6371000     		dr = 597.472380000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49509230-0.49518817) × cos(0.20975071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978082851301931 × 6371000     		do = 597.401043621935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49509230-0.49518817) × cos(0.20965693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978102373504922 × 6371000     		du = 597.412967544765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20975071)-sin(0.20965693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978082851301931-0.978102373504922)×R²
    abs(0.49518817-0.49509230)×1.95222029910624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95222029910624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95222029910624e-05×40589641000000     		ar = 356934.185716216m²