Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37932 / 28227
↖ ↑ ↗
← N 24.191858°
E 28.366699°		 ← 557.15 m → N 24.191858°
E 28.372192°		 →
↑
557.21 m
↓
↑
557.21 m
↓
N 24.186847°
E 28.366699°		 ← 557.17 m →
310 453 m²		 N 24.186847°
E 28.372192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578804016113281 y=0.430717468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578804016113281 × 216)
    floor (0.578804016113281 × 65536)
    floor (37932.5)     		tx = 37932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430717468261719 × 216)
    floor (0.430717468261719 × 65536)
    floor (28227.5)     		ty = 28227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37932 / 28227 ti = "16/37932/28227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37932/28227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37932 ÷ 216
    37932 ÷ 65536     		x = 0.57879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28227 ÷ 216
    28227 ÷ 65536     		y = 0.430709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57879638671875 × 2 - 1) × π
    0.1575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49509230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430709838867188 × 2 - 1) × π
    0.138580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.43536292234935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49509230} λ = 0.49509230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43536292234935))-π/2
    2×atan(1.54552386233224)-π/2
    2×0.996511952905658-π/2
    1.99302390581132-1.57079632675     		φ = 0.42222758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49509230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.366699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42222758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.191858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37932 KachelY 28227 0.49509230 0.42222758 28.366699 24.191858
    Oben rechts KachelX + 1 37933 KachelY 28227 0.49518817 0.42222758 28.372192 24.191858
    Unten links KachelX 37932 KachelY + 1 28228 0.49509230 0.42214012 28.366699 24.186847
    Unten rechts KachelX + 1 37933 KachelY + 1 28228 0.49518817 0.42214012 28.372192 24.186847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42222758-0.42214012) × R
    8.74599999999837e-05 × 6371000     		dl = 557.207659999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42222758-0.42214012) × R
    8.74599999999837e-05 × 6371000     		dr = 557.207659999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49509230-0.49518817) × cos(0.42222758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912178356609322 × 6371000     		do = 557.14738427566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49509230-0.49518817) × cos(0.42214012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912214193652905 × 6371000     		du = 557.169273103594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42222758)-sin(0.42214012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912178356609322-0.912214193652905)×R²
    abs(0.49518817-0.49509230)×3.58370435834532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58370435834532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58370435834532e-05×40589641000000     		ar = 310452.888776424m²