Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3793 / 2581
↖ ↑ ↗
← N 55.254077°
W 13.315430°		 ← 2 785 m → N 55.254077°
W 13.271484°		 →
↑
2 785.85 m
↓
↑
2 785.85 m
↓
N 55.229023°
W 13.315430°		 ← 2 786.76 m →
7 761 029 m²		 N 55.229023°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46307373046875 y=0.31512451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46307373046875 × 213)
    floor (0.46307373046875 × 8192)
    floor (3793.5)     		tx = 3793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31512451171875 × 213)
    floor (0.31512451171875 × 8192)
    floor (2581.5)     		ty = 2581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3793 / 2581 ti = "13/3793/2581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3793/2581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3793 ÷ 213
    3793 ÷ 8192     		x = 0.4630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2581 ÷ 213
    2581 ÷ 8192     		y = 0.3150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23239809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3150634765625 × 2 - 1) × π
    0.369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16199044679016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23239809} λ = -0.23239809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16199044679016))-π/2
    2×atan(3.19628899182504)-π/2
    2×1.26758094837354-π/2
    2.53516189674708-1.57079632675     		φ = 0.96436557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23239809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96436557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.254077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3793 KachelY 2581 -0.23239809 0.96436557 -13.315430 55.254077
    Oben rechts KachelX + 1 3794 KachelY 2581 -0.23163110 0.96436557 -13.271484 55.254077
    Unten links KachelX 3793 KachelY + 1 2582 -0.23239809 0.96392830 -13.315430 55.229023
    Unten rechts KachelX + 1 3794 KachelY + 1 2582 -0.23163110 0.96392830 -13.271484 55.229023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96436557-0.96392830) × R
    0.000437270000000045 × 6371000     		dl = 2785.84717000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96436557-0.96392830) × R
    0.000437270000000045 × 6371000     		dr = 2785.84717000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23239809--0.23163110) × cos(0.96436557) × R
    0.000766989999999995 × 0.569938294176034 × 6371000     		do = 2784.99965020522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23239809--0.23163110) × cos(0.96392830) × R
    0.000766989999999995 × 0.570297538968353 × 6371000     		du = 2786.75509747236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96436557)-sin(0.96392830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569938294176034-0.570297538968353)×R²
    abs(-0.23163110--0.23239809)×0.000359244792319191×R²
    0.000766989999999995×0.000359244792319191×6371000²
    0.000766989999999995×0.000359244792319191×40589641000000     		ar = 7761028.72153999m²