Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37927 / 21487
↖ ↑ ↗
← N 76.196141°
W 75.830383°		 ← 72.87 m → N 76.196141°
W 75.827636°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.195485°
W 75.830383°		 ← 72.88 m →
5 312 m²		 N 76.195485°
W 75.827636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.289363861083984 y=0.163936614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.289363861083984 × 217)
    floor (0.289363861083984 × 131072)
    floor (37927.5)     		tx = 37927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163936614990234 × 217)
    floor (0.163936614990234 × 131072)
    floor (21487.5)     		ty = 21487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37927 / 21487 ti = "17/37927/21487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37927/21487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37927 ÷ 217
    37927 ÷ 131072     		x = 0.289360046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21487 ÷ 217
    21487 ÷ 131072     		y = 0.163932800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.289360046386719 × 2 - 1) × π
    -0.421279907226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.32348986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163932800292969 × 2 - 1) × π
    0.672134399414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.11157249136385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.32348986} λ = -1.32348986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11157249136385))-π/2
    2×atan(8.26122177599423)-π/2
    2×1.45033492794179-π/2
    2.90066985588359-1.57079632675     		φ = 1.32987353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.32348986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -75.830383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32987353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.196141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37927 KachelY 21487 -1.32348986 1.32987353 -75.830383 76.196141
    Oben rechts KachelX + 1 37928 KachelY 21487 -1.32344192 1.32987353 -75.827636 76.196141
    Unten links KachelX 37927 KachelY + 1 21488 -1.32348986 1.32986209 -75.830383 76.195485
    Unten rechts KachelX + 1 37928 KachelY + 1 21488 -1.32344192 1.32986209 -75.827636 76.195485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32987353-1.32986209) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32987353-1.32986209) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.32348986--1.32344192) × cos(1.32987353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23859887266158 × 6371000     		do = 72.874237245781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.32348986--1.32344192) × cos(1.32986209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23860998223829 × 6371000     		du = 72.8776303964687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32987353)-sin(1.32986209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23859887266158-0.23860998223829)×R²
    abs(-1.32344192--1.32348986)×1.11095767099945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11095767099945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11095767099945e-05×40589641000000     		ar = 5311.50705074778m²