Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37925 / 29207
↖ ↑ ↗
← N 19.191866°
E 28.328247°		 ← 576.90 m → N 19.191866°
E 28.333740°		 →
↑
576.89 m
↓
↑
576.89 m
↓
N 19.186678°
E 28.328247°		 ← 576.92 m →
332 817 m²		 N 19.186678°
E 28.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578697204589844 y=0.445671081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578697204589844 × 216)
    floor (0.578697204589844 × 65536)
    floor (37925.5)     		tx = 37925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445671081542969 × 216)
    floor (0.445671081542969 × 65536)
    floor (29207.5)     		ty = 29207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37925 / 29207 ti = "16/37925/29207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37925/29207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37925 ÷ 216
    37925 ÷ 65536     		x = 0.578689575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29207 ÷ 216
    29207 ÷ 65536     		y = 0.445663452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578689575195312 × 2 - 1) × π
    0.157379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49442118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445663452148438 × 2 - 1) × π
    0.108673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.34140659909404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49442118} λ = 0.49442118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34140659909404))-π/2
    2×atan(1.40692517908271)-π/2
    2×0.95287878599334-π/2
    1.90575757198668-1.57079632675     		φ = 0.33496125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49442118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.328247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33496125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.191866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37925 KachelY 29207 0.49442118 0.33496125 28.328247 19.191866
    Oben rechts KachelX + 1 37926 KachelY 29207 0.49451706 0.33496125 28.333740 19.191866
    Unten links KachelX 37925 KachelY + 1 29208 0.49442118 0.33487070 28.328247 19.186678
    Unten rechts KachelX + 1 37926 KachelY + 1 29208 0.49451706 0.33487070 28.333740 19.186678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33496125-0.33487070) × R
    9.0549999999967e-05 × 6371000     		dl = 576.89404999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33496125-0.33487070) × R
    9.0549999999967e-05 × 6371000     		dr = 576.89404999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49442118-0.49451706) × cos(0.33496125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.944423048728927 × 6371000     		do = 576.902217062133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49442118-0.49451706) × cos(0.33487070) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.944452811591632 × 6371000     		du = 576.920397750865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33496125)-sin(0.33487070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944423048728927-0.944452811591632)×R²
    abs(0.49451706-0.49442118)×2.97628627051738e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.97628627051738e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.97628627051738e-05×40589641000000     		ar = 332816.700847855m²