Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37923 / 30626
↖ ↑ ↗
← N 11.684515°
E 28.317261°		 ← 598.13 m → N 11.684515°
E 28.322754°		 →
↑
598.17 m
↓
↑
598.17 m
↓
N 11.679135°
E 28.317261°		 ← 598.14 m →
357 789 m²		 N 11.679135°
E 28.322754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578666687011719 y=0.467323303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578666687011719 × 216)
    floor (0.578666687011719 × 65536)
    floor (37923.5)     		tx = 37923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467323303222656 × 216)
    floor (0.467323303222656 × 65536)
    floor (30626.5)     		ty = 30626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37923 / 30626 ti = "16/37923/30626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37923/30626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37923 ÷ 216
    37923 ÷ 65536     		x = 0.578659057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30626 ÷ 216
    30626 ÷ 65536     		y = 0.467315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578659057617188 × 2 - 1) × π
    0.157318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49422944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467315673828125 × 2 - 1) × π
    0.06536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.205361677972321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49422944} λ = 0.49422944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205361677972321))-π/2
    2×atan(1.22796911403619)-π/2
    2×0.887364786210661-π/2
    1.77472957242132-1.57079632675     		φ = 0.20393325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49422944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.317261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20393325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.684515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37923 KachelY 30626 0.49422944 0.20393325 28.317261 11.684515
    Oben rechts KachelX + 1 37924 KachelY 30626 0.49432531 0.20393325 28.322754 11.684515
    Unten links KachelX 37923 KachelY + 1 30627 0.49422944 0.20383936 28.317261 11.679135
    Unten rechts KachelX + 1 37924 KachelY + 1 30627 0.49432531 0.20383936 28.322754 11.679135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20393325-0.20383936) × R
    9.38900000000131e-05 × 6371000     		dl = 598.173190000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20393325-0.20383936) × R
    9.38900000000131e-05 × 6371000     		dr = 598.173190000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49422944-0.49432531) × cos(0.20393325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979277582682254 × 6371000     		do = 598.130770937472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49422944-0.49432531) × cos(0.20383936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97929659321572 × 6371000     		du = 598.142382338813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20393325)-sin(0.20383936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979277582682254-0.97929659321572)×R²
    abs(0.49432531-0.49422944)×1.90105334654245e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90105334654245e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90105334654245e-05×40589641000000     		ar = 357789.26436621m²