Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37923 / 30499
↖ ↑ ↗
← N 12.366832°
E 28.317261°		 ← 596.62 m → N 12.366832°
E 28.322754°		 →
↑
596.64 m
↓
↑
596.64 m
↓
N 12.361466°
E 28.317261°		 ← 596.63 m →
355 971 m²		 N 12.361466°
E 28.322754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578666687011719 y=0.465385437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578666687011719 × 216)
    floor (0.578666687011719 × 65536)
    floor (37923.5)     		tx = 37923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465385437011719 × 216)
    floor (0.465385437011719 × 65536)
    floor (30499.5)     		ty = 30499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37923 / 30499 ti = "16/37923/30499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37923/30499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37923 ÷ 216
    37923 ÷ 65536     		x = 0.578659057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30499 ÷ 216
    30499 ÷ 65536     		y = 0.465377807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578659057617188 × 2 - 1) × π
    0.157318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.49422944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465377807617188 × 2 - 1) × π
    0.069244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.217537650475815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49422944} λ = 0.49422944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217537650475815))-π/2
    2×atan(1.24301222862857)-π/2
    2×0.893319129218925-π/2
    1.78663825843785-1.57079632675     		φ = 0.21584193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49422944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.317261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21584193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.366832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37923 KachelY 30499 0.49422944 0.21584193 28.317261 12.366832
    Oben rechts KachelX + 1 37924 KachelY 30499 0.49432531 0.21584193 28.322754 12.366832
    Unten links KachelX 37923 KachelY + 1 30500 0.49422944 0.21574828 28.317261 12.361466
    Unten rechts KachelX + 1 37924 KachelY + 1 30500 0.49432531 0.21574828 28.322754 12.361466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21584193-0.21574828) × R
    9.36500000000007e-05 × 6371000     		dl = 596.644150000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21584193-0.21574828) × R
    9.36500000000007e-05 × 6371000     		dr = 596.644150000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49422944-0.49432531) × cos(0.21584193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976796424364829 × 6371000     		do = 596.615309781754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49422944-0.49432531) × cos(0.21574828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976816477092368 × 6371000     		du = 596.62755774249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21584193)-sin(0.21574828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976796424364829-0.976816477092368)×R²
    abs(0.49432531-0.49422944)×2.00527275387996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00527275387996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00527275387996e-05×40589641000000     		ar = 355970.688478991m²