Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37920 / 30879
↖ ↑ ↗
← N 10.320324°
E 28.300781°		 ← 600.97 m → N 10.320324°
E 28.306275°		 →
↑
600.98 m
↓
↑
600.98 m
↓
N 10.314919°
E 28.300781°		 ← 600.98 m →
361 171 m²		 N 10.314919°
E 28.306275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578620910644531 y=0.471183776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578620910644531 × 216)
    floor (0.578620910644531 × 65536)
    floor (37920.5)     		tx = 37920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471183776855469 × 216)
    floor (0.471183776855469 × 65536)
    floor (30879.5)     		ty = 30879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37920 / 30879 ti = "16/37920/30879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37920/30879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37920 ÷ 216
    37920 ÷ 65536     		x = 0.57861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30879 ÷ 216
    30879 ÷ 65536     		y = 0.471176147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471176147460938 × 2 - 1) × π
    0.057647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.181105606764572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49394181} λ = 0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181105606764572))-π/2
    2×atan(1.19854174672597)-π/2
    2×0.875459976962305-π/2
    1.75091995392461-1.57079632675     		φ = 0.18012363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18012363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.320324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37920 KachelY 30879 0.49394181 0.18012363 28.300781 10.320324
    Oben rechts KachelX + 1 37921 KachelY 30879 0.49403769 0.18012363 28.306275 10.320324
    Unten links KachelX 37920 KachelY + 1 30880 0.49394181 0.18002930 28.300781 10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 37921 KachelY + 1 30880 0.49403769 0.18002930 28.306275 10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18012363-0.18002930) × R
    9.43300000000036e-05 × 6371000     		dl = 600.976430000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18012363-0.18002930) × R
    9.43300000000036e-05 × 6371000     		dr = 600.976430000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49394181-0.49403769) × cos(0.18012363) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983821551843296 × 6371000     		do = 600.968850999328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49394181-0.49403769) × cos(0.18002930) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 600.979171308214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18012363)-sin(0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983821551843296-0.983838446799311)×R²
    abs(0.49403769-0.49394181)×1.68949560145348e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.68949560145348e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.68949560145348e-05×40589641000000     		ar = 361171.216013792m²