Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3792 / 880
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
E153.281250°		 ← 3 169.83 m → N 71.074057°
E153.369140°		 →
↑
3 172.12 m
↓
↑
3 172.12 m
↓
N 71.045529°
E153.281250°		 ← 3 174.43 m →
10 062 374 m²		 N 71.045529°
E153.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9259033203125 y=0.2149658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9259033203125 × 212)
    floor (0.9259033203125 × 4096)
    floor (3792.5)     		tx = 3792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2149658203125 × 212)
    floor (0.2149658203125 × 4096)
    floor (880.5)     		ty = 880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3792 / 880 ti = "12/3792/880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3792/880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3792 ÷ 212
    3792 ÷ 4096     		x = 0.92578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 880 ÷ 212
    880 ÷ 4096     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92578125 × 2 - 1) × π
    0.8515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67526249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67526249} λ = 2.67526249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67526249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3792 KachelY 880 2.67526249 1.24047630 153.281250 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 3793 KachelY 880 2.67679647 1.24047630 153.369140 71.074057
    Unten links KachelX 3792 KachelY + 1 881 2.67526249 1.23997840 153.281250 71.045529
    Unten rechts KachelX + 1 3793 KachelY + 1 881 2.67679647 1.23997840 153.369140 71.045529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.23997840) × R
    0.000497900000000051 × 6371000     		dl = 3172.12090000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.23997840) × R
    0.000497900000000051 × 6371000     		dr = 3172.12090000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67526249-2.67679647) × cos(1.24047630) × R
    0.00153398000000005 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 3169.82686428164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67526249-2.67679647) × cos(1.23997840) × R
    0.00153398000000005 × 0.324816713297394 × 6371000     		du = 3174.42938001524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.23997840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.324816713297394)×R²
    abs(2.67679647-2.67526249)×0.000470942602439572×R²
    0.00153398000000005×0.000470942602439572×6371000²
    0.00153398000000005×0.000470942602439572×40589641000000     		ar = 10062374.1216202m²