Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3792 / 2544
↖ ↑ ↗
← N 56.170023°
W 13.359375°		 ← 2 720.46 m → N 56.170023°
W 13.315430°		 →
↑
2 721.31 m
↓
↑
2 721.31 m
↓
N 56.145550°
W 13.359375°		 ← 2 722.19 m →
7 405 568 m²		 N 56.145550°
W 13.315430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46295166015625 y=0.31060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46295166015625 × 213)
    floor (0.46295166015625 × 8192)
    floor (3792.5)     		tx = 3792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31060791015625 × 213)
    floor (0.31060791015625 × 8192)
    floor (2544.5)     		ty = 2544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3792 / 2544 ti = "13/3792/2544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3792/2544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3792 ÷ 213
    3792 ÷ 8192     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2544 ÷ 213
    2544 ÷ 8192     		y = 0.310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310546875 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19036909136523))-π/2
    2×atan(3.2882946645981)-π/2
    2×1.2755740843745-π/2
    2.55114816874901-1.57079632675     		φ = 0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3792 KachelY 2544 -0.23316508 0.98035184 -13.359375 56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 3793 KachelY 2544 -0.23239809 0.98035184 -13.315430 56.170023
    Unten links KachelX 3792 KachelY + 1 2545 -0.23316508 0.97992470 -13.359375 56.145550
    Unten rechts KachelX + 1 3793 KachelY + 1 2545 -0.23239809 0.97992470 -13.315430 56.145550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98035184-0.97992470) × R
    0.000427139999999993 × 6371000     		dl = 2721.30893999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98035184-0.97992470) × R
    0.000427139999999993 × 6371000     		dr = 2721.30893999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.23239809) × cos(0.98035184) × R
    0.000766989999999995 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 2720.45892464382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.23239809) × cos(0.97992470) × R
    0.000766989999999995 × 0.557085081638972 × 6371000     		du = 2722.19251338792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98035184)-sin(0.97992470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.557085081638972)×R²
    abs(-0.23239809--0.23316508)×0.000354771538856324×R²
    0.000766989999999995×0.000354771538856324×6371000²
    0.000766989999999995×0.000354771538856324×40589641000000     		ar = 7405568.12040596m²