Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37914 / 30614
↖ ↑ ↗
← N 11.749059°
E 28.267822°		 ← 597.99 m → N 11.749059°
E 28.273315°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
N 11.743680°
E 28.267822°		 ← 598 m →
357 630 m²		 N 11.743680°
E 28.273315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578529357910156 y=0.467140197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578529357910156 × 216)
    floor (0.578529357910156 × 65536)
    floor (37914.5)     		tx = 37914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467140197753906 × 216)
    floor (0.467140197753906 × 65536)
    floor (30614.5)     		ty = 30614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37914 / 30614 ti = "16/37914/30614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37914/30614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37914 ÷ 216
    37914 ÷ 65536     		x = 0.578521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30614 ÷ 216
    30614 ÷ 65536     		y = 0.467132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578521728515625 × 2 - 1) × π
    0.15704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49336657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467132568359375 × 2 - 1) × π
    0.06573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.206512163563202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49336657} λ = 0.49336657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206512163563202))-π/2
    2×atan(1.22938268780014)-π/2
    2×0.887928042844425-π/2
    1.77585608568885-1.57079632675     		φ = 0.20505976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49336657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.267822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20505976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.749059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37914 KachelY 30614 0.49336657 0.20505976 28.267822 11.749059
    Oben rechts KachelX + 1 37915 KachelY 30614 0.49346244 0.20505976 28.273315 11.749059
    Unten links KachelX 37914 KachelY + 1 30615 0.49336657 0.20496589 28.267822 11.743680
    Unten rechts KachelX + 1 37915 KachelY + 1 30615 0.49346244 0.20496589 28.273315 11.743680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20505976-0.20496589) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dl = 598.045769999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20505976-0.20496589) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dr = 598.045769999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49336657-0.49346244) × cos(0.20505976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979048817597797 × 6371000     		do = 597.991044021682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49336657-0.49346244) × cos(0.20496589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979067927625763 × 6371000     		du = 598.002716193048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20505976)-sin(0.20496589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979048817597797-0.979067927625763)×R²
    abs(0.49346244-0.49336657)×1.91100279662848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91100279662848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91100279662848e-05×40589641000000     		ar = 357629.504884027m²