Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3791 / 3535
↖ ↑ ↗
← N 70.966864°
W 96.701660°		 ← 796.77 m → N 70.966864°
W 96.679688°		 →
↑
796.95 m
↓
↑
796.95 m
↓
N 70.959697°
W 96.701660°		 ← 797.06 m →
635 099 m²		 N 70.959697°
W 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231414794921875 y=0.215789794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231414794921875 × 214)
    floor (0.231414794921875 × 16384)
    floor (3791.5)     		tx = 3791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215789794921875 × 214)
    floor (0.215789794921875 × 16384)
    floor (3535.5)     		ty = 3535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3791 / 3535 ti = "14/3791/3535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3791/3535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3791 ÷ 214
    3791 ÷ 16384     		x = 0.23138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3535 ÷ 214
    3535 ÷ 16384     		y = 0.21575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.5372314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.68776236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21575927734375 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78593713224481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68776236} λ = -1.68776236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78593713224481))-π/2
    2×atan(5.9651674798364)-π/2
    2×1.40470088236832-π/2
    2.80940176473664-1.57079632675     		φ = 1.23860544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68776236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23860544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.966864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3791 KachelY 3535 -1.68776236 1.23860544 -96.701660 70.966864
    Oben rechts KachelX + 1 3792 KachelY 3535 -1.68737887 1.23860544 -96.679688 70.966864
    Unten links KachelX 3791 KachelY + 1 3536 -1.68776236 1.23848035 -96.701660 70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 3792 KachelY + 1 3536 -1.68737887 1.23848035 -96.679688 70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23860544-1.23848035) × R
    0.00012509000000005 × 6371000     		dl = 796.948390000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23860544-1.23848035) × R
    0.00012509000000005 × 6371000     		dr = 796.948390000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68776236--1.68737887) × cos(1.23860544) × R
    0.000383489999999931 × 0.326114920714068 × 6371000     		do = 796.768797528144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68776236--1.68737887) × cos(1.23848035) × R
    0.000383489999999931 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 797.057704731673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23860544)-sin(1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326114920714068-0.32623316950853)×R²
    abs(-1.68737887--1.68776236)×0.000118248794461984×R²
    0.000383489999999931×0.000118248794461984×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118248794461984×40589641000000     		ar = 635098.733285881m²