Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3791 / 2573
↖ ↑ ↗
← N 55.453941°
W 13.403320°		 ← 2 770.98 m → N 55.453941°
W 13.359375°		 →
↑
2 771.83 m
↓
↑
2 771.83 m
↓
N 55.429014°
W 13.403320°		 ← 2 772.73 m →
7 683 106 m²		 N 55.429014°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46282958984375 y=0.31414794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46282958984375 × 213)
    floor (0.46282958984375 × 8192)
    floor (3791.5)     		tx = 3791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31414794921875 × 213)
    floor (0.31414794921875 × 8192)
    floor (2573.5)     		ty = 2573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3791 / 2573 ti = "13/3791/2573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3791/2573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3791 ÷ 213
    3791 ÷ 8192     		x = 0.4627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2573 ÷ 213
    2573 ÷ 8192     		y = 0.3140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3140869140625 × 2 - 1) × π
    0.371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16812636994153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23393207} λ = -0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16812636994153))-π/2
    2×atan(3.21596146812822)-π/2
    2×1.26932509309117-π/2
    2.53865018618233-1.57079632675     		φ = 0.96785386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96785386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.453941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3791 KachelY 2573 -0.23393207 0.96785386 -13.403320 55.453941
    Oben rechts KachelX + 1 3792 KachelY 2573 -0.23316508 0.96785386 -13.359375 55.453941
    Unten links KachelX 3791 KachelY + 1 2574 -0.23393207 0.96741879 -13.403320 55.429014
    Unten rechts KachelX + 1 3792 KachelY + 1 2574 -0.23316508 0.96741879 -13.359375 55.429014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96785386-0.96741879) × R
    0.000435069999999982 × 6371000     		dl = 2771.83096999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96785386-0.96741879) × R
    0.000435069999999982 × 6371000     		dr = 2771.83096999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23393207--0.23316508) × cos(0.96785386) × R
    0.000766989999999995 × 0.567068548165355 × 6371000     		do = 2770.97665558003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23393207--0.23316508) × cos(0.96741879) × R
    0.000766989999999995 × 0.567426848854107 × 6371000     		du = 2772.72748949142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96785386)-sin(0.96741879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567068548165355-0.567426848854107)×R²
    abs(-0.23316508--0.23393207)×0.000358300688752089×R²
    0.000766989999999995×0.000358300688752089×6371000²
    0.000766989999999995×0.000358300688752089×40589641000000     		ar = 7683105.5401062m²