Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3791 / 2511
↖ ↑ ↗
← N 56.968936°
W 13.403320°		 ← 2 663.60 m → N 56.968936°
W 13.359375°		 →
↑
2 664.48 m
↓
↑
2 664.48 m
↓
N 56.944974°
W 13.403320°		 ← 2 665.31 m →
7 099 381 m²		 N 56.944974°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46282958984375 y=0.30657958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46282958984375 × 213)
    floor (0.46282958984375 × 8192)
    floor (3791.5)     		tx = 3791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30657958984375 × 213)
    floor (0.30657958984375 × 8192)
    floor (2511.5)     		ty = 2511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3791 / 2511 ti = "13/3791/2511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3791/2511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3791 ÷ 213
    3791 ÷ 8192     		x = 0.4627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2511 ÷ 213
    2511 ÷ 8192     		y = 0.3065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3065185546875 × 2 - 1) × π
    0.386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21567977436462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23393207} λ = -0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21567977436462))-π/2
    2×atan(3.37258588269922)-π/2
    2×1.28254591736306-π/2
    2.56509183472613-1.57079632675     		φ = 0.99429551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99429551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.968936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3791 KachelY 2511 -0.23393207 0.99429551 -13.403320 56.968936
    Oben rechts KachelX + 1 3792 KachelY 2511 -0.23316508 0.99429551 -13.359375 56.968936
    Unten links KachelX 3791 KachelY + 1 2512 -0.23393207 0.99387729 -13.403320 56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 3792 KachelY + 1 2512 -0.23316508 0.99387729 -13.359375 56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99429551-0.99387729) × R
    0.000418220000000025 × 6371000     		dl = 2664.47962000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99429551-0.99387729) × R
    0.000418220000000025 × 6371000     		dr = 2664.47962000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23393207--0.23316508) × cos(0.99429551) × R
    0.000766989999999995 × 0.545093651631938 × 6371000     		do = 2663.59647112105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23393207--0.23316508) × cos(0.99387729) × R
    0.000766989999999995 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 2665.30956610891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99429551)-sin(0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545093651631938-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.23316508--0.23393207)×0.000350577579093292×R²
    0.000766989999999995×0.000350577579093292×6371000²
    0.000766989999999995×0.000350577579093292×40589641000000     		ar = 7099380.87002573m²