Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37908 / 21484
↖ ↑ ↗
← N 76.198106°
W 75.882568°		 ← 72.85 m → N 76.198106°
W 75.879822°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.197451°
W 75.882568°		 ← 72.85 m →
5 310 m²		 N 76.197451°
W 75.879822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.289218902587891 y=0.163913726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.289218902587891 × 217)
    floor (0.289218902587891 × 131072)
    floor (37908.5)     		tx = 37908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163913726806641 × 217)
    floor (0.163913726806641 × 131072)
    floor (21484.5)     		ty = 21484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37908 / 21484 ti = "17/37908/21484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37908/21484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37908 ÷ 217
    37908 ÷ 131072     		x = 0.289215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21484 ÷ 217
    21484 ÷ 131072     		y = 0.163909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.289215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.42156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.32440066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163909912109375 × 2 - 1) × π
    0.67218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11171630206271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.32440066} λ = -1.32440066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11171630206271))-π/2
    2×atan(8.26240991350267)-π/2
    2×1.4503520832792-π/2
    2.90070416655841-1.57079632675     		φ = 1.32990784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.32440066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -75.882568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32990784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.198106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37908 KachelY 21484 -1.32440066 1.32990784 -75.882568 76.198106
    Oben rechts KachelX + 1 37909 KachelY 21484 -1.32435273 1.32990784 -75.879822 76.198106
    Unten links KachelX 37908 KachelY + 1 21485 -1.32440066 1.32989640 -75.882568 76.197451
    Unten rechts KachelX + 1 37909 KachelY + 1 21485 -1.32435273 1.32989640 -75.879822 76.197451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32990784-1.32989640) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32990784-1.32989640) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.32440066--1.32435273) × cos(1.32990784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238565553455362 × 6371000     		do = 72.8488616912474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.32440066--1.32435273) × cos(1.32989640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238576663125719 × 6371000     		du = 72.8522541627403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32990784)-sin(1.32989640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238565553455362-0.238576663125719)×R²
    abs(-1.32435273--1.32440066)×1.11096703572233e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11096703572233e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11096703572233e-05×40589641000000     		ar = 5309.65754816247m²