Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37907 / 21483
↖ ↑ ↗
← N 76.198762°
W 75.885315°		 ← 72.86 m → N 76.198762°
W 75.882568°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.198106°
W 75.885315°		 ← 72.86 m →
5 311 m²		 N 76.198106°
W 75.882568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.289211273193359 y=0.163906097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.289211273193359 × 217)
    floor (0.289211273193359 × 131072)
    floor (37907.5)     		tx = 37907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163906097412109 × 217)
    floor (0.163906097412109 × 131072)
    floor (21483.5)     		ty = 21483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37907 / 21483 ti = "17/37907/21483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37907/21483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37907 ÷ 217
    37907 ÷ 131072     		x = 0.289207458496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21483 ÷ 217
    21483 ÷ 131072     		y = 0.163902282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.289207458496094 × 2 - 1) × π
    -0.421585083007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.32444860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163902282714844 × 2 - 1) × π
    0.672195434570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.11176423896233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.32444860} λ = -1.32444860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11176423896233))-π/2
    2×atan(8.26280599731076)-π/2
    2×1.45035780119261-π/2
    2.90071560238522-1.57079632675     		φ = 1.32991928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.32444860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -75.885315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32991928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.198762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37907 KachelY 21483 -1.32444860 1.32991928 -75.885315 76.198762
    Oben rechts KachelX + 1 37908 KachelY 21483 -1.32440066 1.32991928 -75.882568 76.198762
    Unten links KachelX 37907 KachelY + 1 21484 -1.32444860 1.32990784 -75.885315 76.198106
    Unten rechts KachelX + 1 37908 KachelY + 1 21484 -1.32440066 1.32990784 -75.882568 76.198106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32991928-1.32990784) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32991928-1.32990784) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.32444860--1.32440066) × cos(1.32991928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238554443753783 × 6371000     		do = 72.8606675137396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.32444860--1.32440066) × cos(1.32990784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238565553455362 × 6371000     		du = 72.8640607025656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32991928)-sin(1.32990784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238554443753783-0.238565553455362)×R²
    abs(-1.32440066--1.32444860)×1.11097015791373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11097015791373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11097015791373e-05×40589641000000     		ar = 5310.51803254264m²