Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3790 / 3503
↖ ↑ ↗
← N 25.204941°
W 13.447266°		 ← 4 421.25 m → N 25.204941°
W 13.403320°		 →
↑
4 421.98 m
↓
↑
4 421.98 m
↓
N 25.165173°
W 13.447266°		 ← 4 422.70 m →
19 553 896 m²		 N 25.165173°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46270751953125 y=0.42767333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46270751953125 × 213)
    floor (0.46270751953125 × 8192)
    floor (3790.5)     		tx = 3790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42767333984375 × 213)
    floor (0.42767333984375 × 8192)
    floor (3503.5)     		ty = 3503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3790 / 3503 ti = "13/3790/3503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3790/3503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3790 ÷ 213
    3790 ÷ 8192     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3503 ÷ 213
    3503 ÷ 8192     		y = 0.4276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.454825303595093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454825303595093))-π/2
    2×atan(1.57589805526055)-π/2
    2×1.00535276884217-π/2
    2.01070553768433-1.57079632675     		φ = 0.43990921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43990921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.204941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3790 KachelY 3503 -0.23469906 0.43990921 -13.447266 25.204941
    Oben rechts KachelX + 1 3791 KachelY 3503 -0.23393207 0.43990921 -13.403320 25.204941
    Unten links KachelX 3790 KachelY + 1 3504 -0.23469906 0.43921513 -13.447266 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 3791 KachelY + 1 3504 -0.23393207 0.43921513 -13.403320 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43990921-0.43921513) × R
    0.000694079999999986 × 6371000     		dl = 4421.98367999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43990921-0.43921513) × R
    0.000694079999999986 × 6371000     		dr = 4421.98367999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23393207) × cos(0.43990921) × R
    0.000766989999999995 × 0.904790330535089 × 6371000     		do = 4421.25187901657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23393207) × cos(0.43921513) × R
    0.000766989999999995 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 4422.69515897917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43990921)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904790330535089-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.23393207--0.23469906)×0.000295361085536849×R²
    0.000766989999999995×0.000295361085536849×6371000²
    0.000766989999999995×0.000295361085536849×40589641000000     		ar = 19553895.5194037m²