Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3790 / 2574
↖ ↑ ↗
← N 55.429014°
W 13.447266°		 ← 2 772.73 m → N 55.429014°
W 13.403320°		 →
↑
2 773.61 m
↓
↑
2 773.61 m
↓
N 55.404070°
W 13.447266°		 ← 2 774.48 m →
7 692 907 m²		 N 55.404070°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46270751953125 y=0.31427001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46270751953125 × 213)
    floor (0.46270751953125 × 8192)
    floor (3790.5)     		tx = 3790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31427001953125 × 213)
    floor (0.31427001953125 × 8192)
    floor (2574.5)     		ty = 2574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3790 / 2574 ti = "13/3790/2574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3790/2574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3790 ÷ 213
    3790 ÷ 8192     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2574 ÷ 213
    2574 ÷ 8192     		y = 0.314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314208984375 × 2 - 1) × π
    0.37158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16735937954761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16735937954761))-π/2
    2×atan(3.21349580226683)-π/2
    2×1.26910755632635-π/2
    2.5382151126527-1.57079632675     		φ = 0.96741879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96741879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.429014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3790 KachelY 2574 -0.23469906 0.96741879 -13.447266 55.429014
    Oben rechts KachelX + 1 3791 KachelY 2574 -0.23393207 0.96741879 -13.403320 55.429014
    Unten links KachelX 3790 KachelY + 1 2575 -0.23469906 0.96698344 -13.447266 55.404070
    Unten rechts KachelX + 1 3791 KachelY + 1 2575 -0.23393207 0.96698344 -13.403320 55.404070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96741879-0.96698344) × R
    0.000435349999999946 × 6371000     		dl = 2773.61484999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96741879-0.96698344) × R
    0.000435349999999946 × 6371000     		dr = 2773.61484999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23393207) × cos(0.96741879) × R
    0.000766989999999995 × 0.567426848854107 × 6371000     		do = 2772.72748949142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23393207) × cos(0.96698344) × R
    0.000766989999999995 × 0.567785272626456 × 6371000     		du = 2774.47892484998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96741879)-sin(0.96698344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567426848854107-0.567785272626456)×R²
    abs(-0.23393207--0.23469906)×0.000358423772348182×R²
    0.000766989999999995×0.000358423772348182×6371000²
    0.000766989999999995×0.000358423772348182×40589641000000     		ar = 7692907.16491627m²