Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3790 / 2518
↖ ↑ ↗
← N 56.800878°
W 13.447266°		 ← 2 675.60 m → N 56.800878°
W 13.403320°		 →
↑
2 676.46 m
↓
↑
2 676.46 m
↓
N 56.776808°
W 13.447266°		 ← 2 677.32 m →
7 163 431 m²		 N 56.776808°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46270751953125 y=0.30743408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46270751953125 × 213)
    floor (0.46270751953125 × 8192)
    floor (3790.5)     		tx = 3790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30743408203125 × 213)
    floor (0.30743408203125 × 8192)
    floor (2518.5)     		ty = 2518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3790 / 2518 ti = "13/3790/2518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3790/2518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3790 ÷ 213
    3790 ÷ 8192     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2518 ÷ 213
    2518 ÷ 8192     		y = 0.307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307373046875 × 2 - 1) × π
    0.38525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21031084160718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21031084160718))-π/2
    2×atan(3.3545272171359)-π/2
    2×1.28107933567538-π/2
    2.56215867135076-1.57079632675     		φ = 0.99136234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99136234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.800878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3790 KachelY 2518 -0.23469906 0.99136234 -13.447266 56.800878
    Oben rechts KachelX + 1 3791 KachelY 2518 -0.23393207 0.99136234 -13.403320 56.800878
    Unten links KachelX 3790 KachelY + 1 2519 -0.23469906 0.99094224 -13.447266 56.776808
    Unten rechts KachelX + 1 3791 KachelY + 1 2519 -0.23393207 0.99094224 -13.403320 56.776808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99136234-0.99094224) × R
    0.000420100000000034 × 6371000     		dl = 2676.45710000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99136234-0.99094224) × R
    0.000420100000000034 × 6371000     		dr = 2676.45710000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23393207) × cos(0.99136234) × R
    0.000766989999999995 × 0.547550400126254 × 6371000     		do = 2675.60135615374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23393207) × cos(0.99094224) × R
    0.000766989999999995 × 0.547901880012212 × 6371000     		du = 2677.31886025804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99136234)-sin(0.99094224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547550400126254-0.547901880012212)×R²
    abs(-0.23393207--0.23469906)×0.000351479885957851×R²
    0.000766989999999995×0.000351479885957851×6371000²
    0.000766989999999995×0.000351479885957851×40589641000000     		ar = 7163430.76482943m²