Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3789 / 881
↖ ↑ ↗
← N 71.045529°
E153.017578°		 ← 3 174.43 m → N 71.045529°
E153.105469°		 →
↑
3 176.77 m
↓
↑
3 176.77 m
↓
N 71.016960°
E153.017578°		 ← 3 179.04 m →
10 091 758 m²		 N 71.016960°
E153.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9251708984375 y=0.2152099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9251708984375 × 212)
    floor (0.9251708984375 × 4096)
    floor (3789.5)     		tx = 3789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2152099609375 × 212)
    floor (0.2152099609375 × 4096)
    floor (881.5)     		ty = 881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3789 / 881 ti = "12/3789/881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3789/881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3789 ÷ 212
    3789 ÷ 4096     		x = 0.925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 881 ÷ 212
    881 ÷ 4096     		y = 0.215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925048828125 × 2 - 1) × π
    0.85009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67066055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67066055} λ = 2.67066055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79015557941138))-π/2
    2×atan(5.99038437436327)-π/2
    2×1.4053873617481-π/2
    2.81077472349621-1.57079632675     		φ = 1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67066055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.017578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3789 KachelY 881 2.67066055 1.23997840 153.017578 71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 3790 KachelY 881 2.67219453 1.23997840 153.105469 71.045529
    Unten links KachelX 3789 KachelY + 1 882 2.67066055 1.23947977 153.017578 71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 3790 KachelY + 1 882 2.67219453 1.23947977 153.105469 71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23997840-1.23947977) × R
    0.000498630000000055 × 6371000     		dl = 3176.77173000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23997840-1.23947977) × R
    0.000498630000000055 × 6371000     		dr = 3176.77173000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67066055-2.67219453) × cos(1.23997840) × R
    0.00153398000000005 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 3174.42938001524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67066055-2.67219453) × cos(1.23947977) × R
    0.00153398000000005 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 3179.03785507633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23997840)-sin(1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.325288265675305)×R²
    abs(2.67219453-2.67066055)×0.000471552377911189×R²
    0.00153398000000005×0.000471552377911189×6371000²
    0.00153398000000005×0.000471552377911189×40589641000000     		ar = 10091757.7590588m²