Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3789 / 3511
↖ ↑ ↗
← N 24.886437°
W 13.491211°		 ← 4 432.75 m → N 24.886437°
W 13.447266°		 →
↑
4 433.52 m
↓
↑
4 433.52 m
↓
N 24.846565°
W 13.491211°		 ← 4 434.18 m →
19 655 841 m²		 N 24.846565°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46258544921875 y=0.42864990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46258544921875 × 213)
    floor (0.46258544921875 × 8192)
    floor (3789.5)     		tx = 3789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42864990234375 × 213)
    floor (0.42864990234375 × 8192)
    floor (3511.5)     		ty = 3511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3789 / 3511 ti = "13/3789/3511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3789/3511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3789 ÷ 213
    3789 ÷ 8192     		x = 0.4625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3511 ÷ 213
    3511 ÷ 8192     		y = 0.4285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    0.142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448689380443726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23546605} λ = -0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448689380443726))-π/2
    2×atan(1.56625807124471)-π/2
    2×1.00257329131799-π/2
    2.00514658263597-1.57079632675     		φ = 0.43435026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43435026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.886437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3789 KachelY 3511 -0.23546605 0.43435026 -13.491211 24.886437
    Oben rechts KachelX + 1 3790 KachelY 3511 -0.23469906 0.43435026 -13.447266 24.886437
    Unten links KachelX 3789 KachelY + 1 3512 -0.23546605 0.43365437 -13.491211 24.846565
    Unten rechts KachelX + 1 3790 KachelY + 1 3512 -0.23469906 0.43365437 -13.447266 24.846565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43435026-0.43365437) × R
    0.000695889999999977 × 6371000     		dl = 4433.51518999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43435026-0.43365437) × R
    0.000695889999999977 × 6371000     		dr = 4433.51518999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23546605--0.23469906) × cos(0.43435026) × R
    0.000766990000000023 × 0.907143658051196 × 6371000     		do = 4432.75139813336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23546605--0.23469906) × cos(0.43365437) × R
    0.000766990000000023 × 0.907436283562814 × 6371000     		du = 4434.18131073236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43435026)-sin(0.43365437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907143658051196-0.907436283562814)×R²
    abs(-0.23469906--0.23546605)×0.000292625511618017×R²
    0.000766990000000023×0.000292625511618017×6371000²
    0.000766990000000023×0.000292625511618017×40589641000000     		ar = 19655841.219948m²