Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3789 / 2578
↖ ↑ ↗
← N 55.329144°
W 13.491211°		 ← 2 779.74 m → N 55.329144°
W 13.447266°		 →
↑
2 780.62 m
↓
↑
2 780.62 m
↓
N 55.304138°
W 13.491211°		 ← 2 781.49 m →
7 731 838 m²		 N 55.304138°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46258544921875 y=0.31475830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46258544921875 × 213)
    floor (0.46258544921875 × 8192)
    floor (3789.5)     		tx = 3789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31475830078125 × 213)
    floor (0.31475830078125 × 8192)
    floor (2578.5)     		ty = 2578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3789 / 2578 ti = "13/3789/2578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3789/2578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3789 ÷ 213
    3789 ÷ 8192     		x = 0.4625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2578 ÷ 213
    2578 ÷ 8192     		y = 0.314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314697265625 × 2 - 1) × π
    0.37060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16429141797192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23546605} λ = -0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16429141797192))-π/2
    2×atan(3.20365202850281)-π/2
    2×1.26823603450702-π/2
    2.53647206901404-1.57079632675     		φ = 0.96567574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96567574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.329144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3789 KachelY 2578 -0.23546605 0.96567574 -13.491211 55.329144
    Oben rechts KachelX + 1 3790 KachelY 2578 -0.23469906 0.96567574 -13.447266 55.329144
    Unten links KachelX 3789 KachelY + 1 2579 -0.23546605 0.96523929 -13.491211 55.304138
    Unten rechts KachelX + 1 3790 KachelY + 1 2579 -0.23469906 0.96523929 -13.447266 55.304138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96567574-0.96523929) × R
    0.000436450000000033 × 6371000     		dl = 2780.62295000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96567574-0.96523929) × R
    0.000436450000000033 × 6371000     		dr = 2780.62295000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23546605--0.23469906) × cos(0.96567574) × R
    0.000766990000000023 × 0.568861255015174 × 6371000     		do = 2779.73670557271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23546605--0.23469906) × cos(0.96523929) × R
    0.000766990000000023 × 0.56922015192688 × 6371000     		du = 2781.49045292356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96567574)-sin(0.96523929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568861255015174-0.56922015192688)×R²
    abs(-0.23469906--0.23546605)×0.000358896911705098×R²
    0.000766990000000023×0.000358896911705098×6371000²
    0.000766990000000023×0.000358896911705098×40589641000000     		ar = 7731838.05627436m²