Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3789 / 2115
↖ ↑ ↗
← N 65.311829°
W 13.491211°		 ← 2 040.99 m → N 65.311829°
W 13.447266°		 →
↑
2 041.71 m
↓
↑
2 041.71 m
↓
N 65.293468°
W 13.491211°		 ← 2 042.41 m →
4 168 567 m²		 N 65.293468°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46258544921875 y=0.25823974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46258544921875 × 213)
    floor (0.46258544921875 × 8192)
    floor (3789.5)     		tx = 3789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25823974609375 × 213)
    floor (0.25823974609375 × 8192)
    floor (2115.5)     		ty = 2115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3789 / 2115 ti = "13/3789/2115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3789/2115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3789 ÷ 213
    3789 ÷ 8192     		x = 0.4625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2115 ÷ 213
    2115 ÷ 8192     		y = 0.2581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2581787109375 × 2 - 1) × π
    0.483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5194079703573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23546605} λ = -0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5194079703573))-π/2
    2×atan(4.56951910341583)-π/2
    2×1.35535139387828-π/2
    2.71070278775657-1.57079632675     		φ = 1.13990646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13990646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.311829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3789 KachelY 2115 -0.23546605 1.13990646 -13.491211 65.311829
    Oben rechts KachelX + 1 3790 KachelY 2115 -0.23469906 1.13990646 -13.447266 65.311829
    Unten links KachelX 3789 KachelY + 1 2116 -0.23546605 1.13958599 -13.491211 65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 3790 KachelY + 1 2116 -0.23469906 1.13958599 -13.447266 65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13990646-1.13958599) × R
    0.000320469999999906 × 6371000     		dl = 2041.7143699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13990646-1.13958599) × R
    0.000320469999999906 × 6371000     		dr = 2041.7143699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23546605--0.23469906) × cos(1.13990646) × R
    0.000766990000000023 × 0.417679495708541 × 6371000     		do = 2040.98805315043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23546605--0.23469906) × cos(1.13958599) × R
    0.000766990000000023 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 2042.41078403329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13990646)-sin(1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417679495708541-0.417970651512596)×R²
    abs(-0.23469906--0.23546605)×0.00029115580405531×R²
    0.000766990000000023×0.00029115580405531×6371000²
    0.000766990000000023×0.00029115580405531×40589641000000     		ar = 4168567.07783596m²