Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37884 / 27755
↖ ↑ ↗
← N 26.534480°
E 28.103028°		 ← 546.45 m → N 26.534480°
E 28.108520°		 →
↑
546.50 m
↓
↑
546.50 m
↓
N 26.529565°
E 28.103028°		 ← 546.47 m →
298 644 m²		 N 26.529565°
E 28.108520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578071594238281 y=0.423515319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578071594238281 × 216)
    floor (0.578071594238281 × 65536)
    floor (37884.5)     		tx = 37884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423515319824219 × 216)
    floor (0.423515319824219 × 65536)
    floor (27755.5)     		ty = 27755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37884 / 27755 ti = "16/37884/27755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37884/27755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37884 ÷ 216
    37884 ÷ 65536     		x = 0.57806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27755 ÷ 216
    27755 ÷ 65536     		y = 0.423507690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57806396484375 × 2 - 1) × π
    0.1561279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.49049036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423507690429688 × 2 - 1) × π
    0.152984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.480615355590683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49049036} λ = 0.49049036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480615355590683))-π/2
    2×atan(1.6170691686474)-π/2
    2×1.01695518307396-π/2
    2.03391036614792-1.57079632675     		φ = 0.46311404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49049036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.103028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46311404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.534480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37884 KachelY 27755 0.49049036 0.46311404 28.103028 26.534480
    Oben rechts KachelX + 1 37885 KachelY 27755 0.49058623 0.46311404 28.108520 26.534480
    Unten links KachelX 37884 KachelY + 1 27756 0.49049036 0.46302826 28.103028 26.529565
    Unten rechts KachelX + 1 37885 KachelY + 1 27756 0.49058623 0.46302826 28.108520 26.529565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46311404-0.46302826) × R
    8.57799999999798e-05 × 6371000     		dl = 546.504379999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46311404-0.46302826) × R
    8.57799999999798e-05 × 6371000     		dr = 546.504379999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49049036-0.49058623) × cos(0.46311404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894665682980027 × 6371000     		do = 546.450857402886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49049036-0.49058623) × cos(0.46302826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894704000727646 × 6371000     		du = 546.474261414505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46311404)-sin(0.46302826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894665682980027-0.894704000727646)×R²
    abs(0.49058623-0.49049036)×3.83177476188656e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83177476188656e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83177476188656e-05×40589641000000     		ar = 298644.182405786m²