Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3788 / 867
↖ ↑ ↗
← N 71.441171°
E152.929687°		 ← 3 110.53 m → N 71.441171°
E153.017578°		 →
↑
3 112.74 m
↓
↑
3 112.74 m
↓
N 71.413177°
E152.929687°		 ← 3 115.05 m →
9 689 321 m²		 N 71.413177°
E153.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9249267578125 y=0.2117919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9249267578125 × 212)
    floor (0.9249267578125 × 4096)
    floor (3788.5)     		tx = 3788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2117919921875 × 212)
    floor (0.2117919921875 × 4096)
    floor (867.5)     		ty = 867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3788 / 867 ti = "12/3788/867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3788/867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3788 ÷ 212
    3788 ÷ 4096     		x = 0.9248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 867 ÷ 212
    867 ÷ 4096     		y = 0.211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9248046875 × 2 - 1) × π
    0.849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.66912657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211669921875 × 2 - 1) × π
    0.57666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81163131044116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.66912657} λ = 2.66912657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81163131044116))-π/2
    2×atan(6.12042360383107)-π/2
    2×1.4088399898104-π/2
    2.8176799796208-1.57079632675     		φ = 1.24688365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.66912657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24688365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.441171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3788 KachelY 867 2.66912657 1.24688365 152.929687 71.441171
    Oben rechts KachelX + 1 3789 KachelY 867 2.67066055 1.24688365 153.017578 71.441171
    Unten links KachelX 3788 KachelY + 1 868 2.66912657 1.24639507 152.929687 71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 3789 KachelY + 1 868 2.67066055 1.24639507 153.017578 71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24688365-1.24639507) × R
    0.000488580000000072 × 6371000     		dl = 3112.74318000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24688365-1.24639507) × R
    0.000488580000000072 × 6371000     		dr = 3112.74318000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.66912657-2.67066055) × cos(1.24688365) × R
    0.00153398000000005 × 0.318278194680013 × 6371000     		do = 3110.52852531448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.66912657-2.67066055) × cos(1.24639507) × R
    0.00153398000000005 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 3115.05473298394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24688365)-sin(1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318278194680013-0.318741329222602)×R²
    abs(2.67066055-2.66912657)×0.000463134542589061×R²
    0.00153398000000005×0.000463134542589061×6371000²
    0.00153398000000005×0.000463134542589061×40589641000000     		ar = 9689321.10714414m²