Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3788 / 5212
↖ ↑ ↗
← S 43.961191°
W 13.535156°		 ← 3 517.35 m → S 43.961191°
W 13.491211°		 →
↑
3 516.41 m
↓
↑
3 516.41 m
↓
S 43.992814°
W 13.535156°		 ← 3 515.47 m →
12 365 143 m²		 S 43.992814°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46246337890625 y=0.63629150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46246337890625 × 213)
    floor (0.46246337890625 × 8192)
    floor (3788.5)     		tx = 3788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63629150390625 × 213)
    floor (0.63629150390625 × 8192)
    floor (5212.5)     		ty = 5212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3788 / 5212 ti = "13/3788/5212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3788/5212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3788 ÷ 213
    3788 ÷ 8192     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5212 ÷ 213
    5212 ÷ 8192     		y = 0.63623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855961279615723))-π/2
    2×atan(0.424874571450104)-π/2
    2×0.401764403533219-π/2
    0.803528807066439-1.57079632675     		φ = -0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3788 KachelY 5212 -0.23623304 -0.76726752 -13.535156 -43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 3789 KachelY 5212 -0.23546605 -0.76726752 -13.491211 -43.961191
    Unten links KachelX 3788 KachelY + 1 5213 -0.23623304 -0.76781946 -13.535156 -43.992814
    Unten rechts KachelX + 1 3789 KachelY + 1 5213 -0.23546605 -0.76781946 -13.491211 -43.992814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76726752--0.76781946) × R
    0.000551940000000029 × 6371000     		dl = 3516.40974000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76726752--0.76781946) × R
    0.000551940000000029 × 6371000     		dr = 3516.40974000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23546605) × cos(-0.76726752) × R
    0.000766989999999995 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 3517.34753030968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23546605) × cos(-0.76781946) × R
    0.000766989999999995 × 0.71942691239738 × 6371000     		du = 3515.47478007519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76726752)-sin(-0.76781946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.71942691239738)×R²
    abs(-0.23546605--0.23623304)×0.000383250344028974×R²
    0.000766989999999995×0.000383250344028974×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383250344028974×40589641000000     		ar = 12365142.7498695m²