Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3788 / 4270
↖ ↑ ↗
← N 78.806246°
W138.383789°		 ← 237.15 m → N 78.806246°
W138.372803°		 →
↑
237.19 m
↓
↑
237.19 m
↓
N 78.804113°
W138.383789°		 ← 237.20 m →
56 256 m²		 N 78.804113°
W138.372803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115615844726562 y=0.130325317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115615844726562 × 215)
    floor (0.115615844726562 × 32768)
    floor (3788.5)     		tx = 3788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130325317382812 × 215)
    floor (0.130325317382812 × 32768)
    floor (4270.5)     		ty = 4270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3788 / 4270 ti = "15/3788/4270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3788/4270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3788 ÷ 215
    3788 ÷ 32768     		x = 0.1156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4270 ÷ 215
    4270 ÷ 32768     		y = 0.13031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.41525275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13031005859375 × 2 - 1) × π
    0.7393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32283040798944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41525275} λ = -2.41525275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32283040798944))-π/2
    2×atan(10.2045164141387)-π/2
    2×1.47311239767532-π/2
    2.94622479535063-1.57079632675     		φ = 1.37542847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41525275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37542847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.806246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3788 KachelY 4270 -2.41525275 1.37542847 -138.383789 78.806246
    Oben rechts KachelX + 1 3789 KachelY 4270 -2.41506100 1.37542847 -138.372803 78.806246
    Unten links KachelX 3788 KachelY + 1 4271 -2.41525275 1.37539124 -138.383789 78.804113
    Unten rechts KachelX + 1 3789 KachelY + 1 4271 -2.41506100 1.37539124 -138.372803 78.804113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37542847-1.37539124) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dl = 237.192329999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37542847-1.37539124) × R
    3.72299999999992e-05 × 6371000     		dr = 237.192329999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41525275--2.41506100) × cos(1.37542847) × R
    0.000191749999999935 × 0.194127406895534 × 6371000     		do = 237.153659764225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41525275--2.41506100) × cos(1.37539124) × R
    0.000191749999999935 × 0.194163928509562 × 6371000     		du = 237.198276001395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37542847)-sin(1.37539124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194127406895534-0.194163928509562)×R²
    abs(-2.41506100--2.41525275)×3.65216140278957e-05×R²
    0.000191749999999935×3.65216140278957e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.65216140278957e-05×40589641000000     		ar = 56256.3204486699m²