Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3788 / 2585
↖ ↑ ↗
← N 55.153766°
W 13.535156°		 ← 2 792.02 m → N 55.153766°
W 13.491211°		 →
↑
2 792.92 m
↓
↑
2 792.92 m
↓
N 55.128649°
W 13.535156°		 ← 2 793.78 m →
7 800 354 m²		 N 55.128649°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46246337890625 y=0.31561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46246337890625 × 213)
    floor (0.46246337890625 × 8192)
    floor (3788.5)     		tx = 3788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31561279296875 × 213)
    floor (0.31561279296875 × 8192)
    floor (2585.5)     		ty = 2585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3788 / 2585 ti = "13/3788/2585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3788/2585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3788 ÷ 213
    3788 ÷ 8192     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2585 ÷ 213
    2585 ÷ 8192     		y = 0.3155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3155517578125 × 2 - 1) × π
    0.368896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15892248521448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15892248521448))-π/2
    2×atan(3.18649792699845)-π/2
    2×1.26670557151865-π/2
    2.5334111430373-1.57079632675     		φ = 0.96261482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96261482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.153766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3788 KachelY 2585 -0.23623304 0.96261482 -13.535156 55.153766
    Oben rechts KachelX + 1 3789 KachelY 2585 -0.23546605 0.96261482 -13.491211 55.153766
    Unten links KachelX 3788 KachelY + 1 2586 -0.23623304 0.96217644 -13.535156 55.128649
    Unten rechts KachelX + 1 3789 KachelY + 1 2586 -0.23546605 0.96217644 -13.491211 55.128649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96261482-0.96217644) × R
    0.00043837999999996 × 6371000     		dl = 2792.91897999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96261482-0.96217644) × R
    0.00043837999999996 × 6371000     		dr = 2792.91897999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23546605) × cos(0.96261482) × R
    0.000766989999999995 × 0.571375989358495 × 6371000     		do = 2792.02493806738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23546605) × cos(0.96217644) × R
    0.000766989999999995 × 0.571735707832812 × 6371000     		du = 2793.78269997842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96261482)-sin(0.96217644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571375989358495-0.571735707832812)×R²
    abs(-0.23546605--0.23623304)×0.000359718474316817×R²
    0.000766989999999995×0.000359718474316817×6371000²
    0.000766989999999995×0.000359718474316817×40589641000000     		ar = 7800354.21038185m²